MISMORIAL DES SC MATH. — N

bo BERTRAND GAMBIER.

demi-ellipse O1AO2 engendre évidemment une surface fermée convexe régulière; quand on étudie les sections méridiennes de cette surface, on constate qu'en 0| la courbui^e des deux demi-ellipses 0| AO2 et 0|BOo sont différentes; en 0|, il j a donc une singularité de la surface, ne se manifestant d'ailleurs qu'à partir du second ordre. Si O se rapproche de w, la surface tend vers un ellipsoïde. La surface analytique complète comprend évidemment la portion déjà construite et sa sjmétricjue relativement à l'axe 0| OO2; on a ainsi une surface algébrique de degré 4, admettant 0| et Oo pour points doubles où le cône des tangentes se réduit à un plan double; le plan méridien, mené par O perpendiculairement à Ow, donne une ellipse double tracée sur la surface complète. Par exemple, O étant origine, Ow axe des X, en supposant Ow = e, £ > o, OOi = 1 et le rayon du cercle w étant !-[-£, on aura les équations paramétriques

1 X = [e ^ ( 1 -+- i) coso] sin6 = s sin6 -i- (i -+- £)ci,

(■2.3) \ J =" (i^£)sin® sin6 = (i -t- £)c2,

( z — cos6 = C3.

Pour £ = o, la surface se réduit à une sphère. On a pour ds'^

(•24 ) ds- = fi-i-2£(i-f-£)(i-l- coso)] M- — 2 £(i -T- £) sin? cos6 sin6 clQ do

La courbure totale a pour expression

I I -+- £(l ^ COS9)

RR' (i-t- £)[sin2e-hcos2 6(i-H s M- scos?)^^

On remarque qu'au point 0| ou 02(sin9 = o, cos9 = zh 1), la courbure totale devient ; r-, r-, : ello a donc une valeur indé-

(1+ £)(l-^ £-h £ COSï))*

terminée entre et, r-, ^- Un remarque que pour avoir

H- £ (l -f- £)(l -^ 2£)3 Tir

toute la surface, il faut faire varier cp de zéro à 271 et 9 de zéro à 27:; mais alors la sphère (C|, Co, C3) est balayée deux (ois: au point de vue de M. H. Weyl, sin9 = V'^ï + ^2 i^'est pas une fonction holomorphe de Ci, c-i, C3 ; il faudrait reprendre la méthode pour un exemple de cette sorte et voir les conclusions précises que l'on peut obtenir. Je cite maintenant un exemple [)lus (•oni|)liqué :

APPLICABILITÉ DES SURFACES ÉTUDIÉE DU POINT DE VUE FINI. 6l

La sphère a un ds'^ qui peut recevoir la forme

(26) c?a2= [^(oj-i-i^)— /?(to'-4-ri)](rf^2+6^T,2),

OÙ p{Li\(ji, w') est la fonction classique de Weierstrass : 2w est la période réelle, 2w' la période imaginaire pure; on peut obtenir toute

la sphère, une jois, en taisant varier; entre et -| —) et y)

entre — co et +w; deux points (^, -n) symétriques par rapport au

point 1 dz -.- , ±: co j donnent le même point de la sphère. Dans ce>^

conditions, le ds- suivant (m, n constantes)

I ds-^ = [p{uy + i^) — p(o/-h ri)] [t/^2^ f/j.-^],

(27) • ic = Ç -r- m[/)(aj -i- îÇ) — 62]^, ( J = '^1 -^ n[p{to'-^ ri) — e-iY

est défini sur toute la sphère prise deux Jois^ car on doit faire varier

ici t de — —T- à -A :- vt n de — 2(o à + aco: deux valeurs de H, "''/

symétriques par rapport à ( ±: -^ i dz go j ne donnent plus deitx [)oints

de la surface se correspondant dans une auto-application; il s'agirait de savoir si ce ds- (27) défiiiit, i/i abstracto^ une surface fermée convexe de courbure totale Stï, ayant quatre points singuliers correspondant à t, = ziz -T) Y) = zL oj : la surface se composerait de deux

nappes se r.iccordant aux quali'c points singuliers enjeu. Si une telle surface existe, ses géodésiques seraient fermées et à antipodes, du moins sur une certaine fraction de la surface; aux points singuliers que j'ai indiqués, la courbure reste finie et égale à 4- i .

On peut de même construire des surfaces fermées (ou des ds-) convexes, de courbure totale 127:, iôtt, ....

D'autre part, pour revenir à l'analogie des questions traitées ici avec elles relatives aux polyèdres, on voit aussitôt que les surfaces ayant un réseau de G. Kœnigs doublement conjugué [telles cju'un ellipsoïde ou la surface (23)] relatif à une série de plans parallèles et un axe perpendiculaire à ces plans, peuvent être déformées par les formules données au paragraphe précédent de façon qu'une telle surface supposée fermée convexe puisse prendre un nombre fini de configurations encore fermées, mais offrant deux points coniques sur

l'axe; c'est, d'ailleurs, au fond ce qui se présente pour les surfaces de révolution.

J'ajoute enfin que, si dans une surface convexe on fait un trou aussi petit que l'on veut, la portion restante peut, d'après Liebmann, être déformée tonl entière.