V. // ■•>. f 1 — II- — t

ce qui est permis en vertu de l'homogénéité pour couvertir la forme en une expression Ed/i^ ^ 2F du dv -\- G dv- habituelle; on peut reconnaître dir(;ctement si la forme quadratique est définie |)ositive : il suffit pour cela que l'on ait toujours

pour chaque système X,, Xo, X3 qui vérifie

(6) \-j - \'^ \?i = l , X,r| -1- X.Co-:-X;,C:;= ().

On peut, sans connaître aucune surface représentative du ds^^ calculer la courbure totale K de cette surface suivant la direction (ci, Co, C3), c'est-à-dire au point d'image (c,, Co, C3); on peut, de même, définir ititriusèquement une courbe par une équation homogène

F(C|, Cj, Cs) — o

et 1,1 courl)ur(' géodésicjue de celte courbe en chaque pnini. Si K est toujours positiv<', (iule, non uulle, nous (hions <pie le ds- est con-

voxe: on supposi* les eik aualvtiqsie^ et hdlomorphes j)our ttius les systèmes (c,, Cj. c^) non nuls ensemble cl réels.

Cela posé, la tnélhoJo d'H. Weyl est basée an fond sur le cas particulier où il s'agit de la sphère elle même: Hilbert a donné une démonstration simple de cette propriété : toute surface Jermée de courbure tolnle constante -h i . sans singularité, se réduit à la sphère; en efi'et, si tous les points sont des ombilics, c'est une propriété connueque la surface est une sphère: si tous les points ne sont pas ombilics, il y a contradiction, car au voisinage d'un point M non ombilic, le réaeau des lignes (//, i') de courbure tVu-me un système de coordonnées réiiulier, et l'on a

ilu- - r\i- z dv-

avec

on- </t-

Les rayons principaux sont

(9 ) H| = lli ■^. H., = et II z.

Si la surface n'est pas sphérique, R| et Pv^ ne restent pas constants: chacun, suivi par continuité, garde un signe constant, de sorte que K|. restant compris entre zéro et i , atteint quel{[ue part en M une valeur minimum , donc o aussi: ce point M n'est pas ombilic (sinon R, serait égal à i): les formules (7) et ((S) sonl flonc valables: la \aleur de (p étant positive, non nulle, on a

ôu- - Oi

fity'i —

or, le second membre de (8 ) est négatif sans égalité : c est la coutradictii'ii annoncée.

jVI. Blaschke. puis M. H. VVe\l ont donné une démonstration simple de la propriété due à Liebmann. que toute déformation infiniment petite dUt.ne surface fermée sans singularité se r('duit à un déplacement solide injinitnenl petit . et. somme toute, la proposition d'il. Wevl. que je vais maintenant aborder, est la généralisation de cette propriété à une déformation finie.

M. H. Weyl imagine un ds- convexe contenant un paramètre

variable t: il le suppose développable suivant les puissances de t

(10) (T?S2= A +tAi^- -2A2H-. . .,

OÙ A, A|, ... sont des formes quadratiques différentielles, régulières sur toute la sphère; on suppose que Sq soit une surface fermée connue, dont A est le ds'-\ H. Wejl montre que l'on peut trouver trois développements convergents

/ X = a; -f- X a^j -F t'- ic-j -1- . . ,

(11) ■ Y=7+.TJ'j-+-t2j,-+-...,

( Z = 2 — TSi-f-T2 S2 + - • •

tels que

(x, y, z) sont les coordonnées connues du point courant de Sq et les fonctions inconnues (a;,, j'i, s,), . . . , (xi, ;)'/, s/), . . . seront successivement calculées pour tout svstème (C(, Co, c-i). La démonstration comprend deux parties : on a d'abord

( 1 3 ) dx dxi ■+- dy dy^ -r- dz dzi^= ■ — ,

et c'est cette équation que l'auteur étudie d'abord : le problème homogène correspondant est la résolution de

(i 4 ) d'V dxi -+- dy dj^ — dz dz^ = o.

H. Weyl suit la méthode analogue à celle de Weingarten pour la déformation infiniment petite; si l'on pose (H = \/EG — F- )

( S dx- = E du- -\- 1 F du di' -H G di>- = A ,

I, A I = E du- -t- 2 F du di' -+- G di-. On introduit une inconnue auxiliaire cp telle que

^ ^ cjdu dv 1 r'Jdv du 2

et tout est ramené au calcul de cp. l'uisque S est soit la sphère, soit une surface fermée convexe, l'équation homogène (i4) n'admet d'autre intégrale définie sur toute l'étendue de Sq que

(17) ç t- ^ - ^u ry, T, ^f- rx —p z, l -^ py — q x,

OÙ ^, Yj, Ç, /', cj^ r sont des constantes arbitraires; si l'on connaît une solution de(i3) (.r,. j', g,) définie sur toale la sphère, la solution générale sera

^r, + Ç -r- r/ s — /■/, r, -r- r, -r /•./• — /' ^, :;i -+- ^ t- py — q x.

Il s'agit de faire disparaître les constantes auxiliaires ainsi introduites, qui, finalement, ne servent qu'à remplacer la surface inconnue par une surface d'orientation et position différentes. On peut imprimer une translation convenable (X, ,a, v) à la surface (X, \. Z) de sorte que les intégrales étendues à la sphère (c,, c^, C3)

(18) Çxch, fYrh. pAch

soient nulles quel que suit t; car si elles ne le sont pas, on écrit

ce qui donne

Un simple changement de notations permet alors de supposer 7. = o, /j. = o, V = o, d'où

(19) / X ch = o. / )- //ri = "», / -3 d'y = o. On détermine H,, 'n, Ç par les l'elations

(20) i {Xi^-^-h qz — ry)di = 0, / (.Vi -H. . .) = "5 / (s, -;-...) = o, qui se réduisent à

(20') / (.ri-r-r^cfcr = 0, ■ y (j'i-f-r,)f/cr = o, / (5, ^- 'C) c/s = o.

Un nouveau changement de notations permet donc de supposer ^ = y) = Ç=:o. On détermine ensuite p, q^ r par les relations

x—pz z^ - py — qz

OU, bi l'on [trétère,

/()•,; — yz^xh l\.i{p.r (/)■--/■:■) — p( .r- y- z- \](h = o,

/ ( .r, )• — .rri ) '■/^ — O.

Los trois équations linéaires non homogènes ainsi obtenues cnyy, q^ r ont une solution unique en p, g, /', car les mêmes équations rendues homogènes entraîneraient, en mulli|)li<int par/>, g, r et ajoutant,

égalité qui n'.i d'autre solution que p = g = /■ = o. On a ainsi normalisé d'une façon unique la solution x, , )'| , Z( ; on peut montrer, par une méthode analogue à celle qui est suivie pour le problème de la déformation infiniment petite, que l'équation aux différentielles totales (i'^) se ramène à l'intégration d'une unique équation linéaire aux dérivées partielles du second ordre, du i}'pe clliptigiic, parce que la surface [x^y, z) a sa courbure constamment positive, finie, non nulle. Cette équation a une intégrale iinigae définie sur toute la sphère, exprimée simplement au moyen d'une fonction auxiliaire analogue à la fonction de Green relative à l'équation de L qdace dans le [dan. Ce premier [)0-int établi, les fonctions (j:'j,Vo, ^2); •••, {oci, Vit Zi) s'obtiennent de proche en proche par la même méthode et d'une façon unique; les développements (i 1) sont convergents moyennant certaines conditions imposées au développement (10).

Supposons maintenant le c/s^^ ^en^^x) dciclck défini, convexe depuis - =: o jusqu'à r=i et la surface S„ connue; la méthode appliquée comme plus haut depuis t= ©jusqu'à T = -|(ri<i), conduit pour r = T, à une surface S-^ convexe, connue; on répète ensuite en j)renant S^^ comme nouvelle surface initiale, et l'on arrive à une valeur To(t, <^ t^ 5: ' ) a\ec une surface S,^^ et ainsi de suite; H. Wejl monti-e que l'application du procédé permet d'arriver àr ^ 1 , au bout d'un nombre limité d'opérations. L'existence d'une solution es^f- ainsi démontrée; [)Our démontrei- V unicité, suj)posons cpie So est la sphère et iuiaginons que poui- r = 1 on obtienne non seulement la surface S,

du procédé suivi, mais une autre solution S, ; on peut inversement passer de S, à une surface Sq avant le ds- obtenu pour r = o; mais alors, nous avons vu directement que S^ coïncide avec Sq convenablement déplacée; donc Si n'est autre chose que S, après le déplacement défini par ( Sq S,, ).

■le dois me borner à ces indications assez rapides sur certains points; il serait à désirer que le Mémoire de M. II. Wejl, contenant 33 pages, soit repris et simjilifié; Tanteur annonce plusieurs fois dans son Introduction qu'il traitera telle question par telle méthode, et plus loin, ou bien suit une autre méthode, ou se contente de nouveau d'affirmer l'existeuce de la solution sans produire la démonslratioii promise.

Ici, il est ïnen entendu que les surfaces convexes enjeu se composent d'une seule nappe analytique et ne présentent aucune singularité. Il j aurait lieu de généraliser le résultat dans diverses directions; en songeant au théorème de Cauchy, une surface fermée convexe formée de plusieurs morceaux de surfaces analytiques, telle une lentille biconvexe, est probablement indéformable tout comme un polyèdre convexe. Il se peut que la propriété de convexité ne soit pas absolument nécessaire et qu'une surface telle que le tore, dans s,i totalité, bien entendu, soit absolument indéformable; il v aurait une question de régularité peut-être plus importante qu'une cjuestion de convexité; l'exemple des polyèdres spéciaux de M. Bricard montre qu'il y a là une difficulté pour bien préciser la question de régularité.

D'autre part, la pi'o[)osition d'H. Weyl ne concerne que des surfaces fermées convexes de courbure totale /[Tc [curvatura intégra^ comme disent les géomètres allemands). Je dois citer quelques exemples de surfaces convexes de courlnire totale 871 et qu'il ^ aurait lieu d'étudier au point de vu(( de M. H. Weyl.

Je prends d'abord un cas où, la surface se [)artage en doux morceaux convexes réguliers (tout au moins jusqu'au premier ordre). Prenons dans le plan horizontal un cercle de centre w et un point O intérieur; par O, menons une sécante OAB limitée aux deux points A et B où elle perce le cercle; sur la perpendiculaire au plan du cercle en O, portons deux longueurs égales 00| = 00-.. et construisons les deux demi-ellipses pour lesquelles OiO^ est un axe complet et OA ou OB l'autre demi-axe. Quand \\\ sécante OA tourne autour de O, la