Premier exemple

j=~2ay-i-2^'— 3^H-a = o (/g-. 143'].

Cette équation donne

y..--X-^^^x'+Zx-^;

d'où l'on voit d'abord que le diamètre j' = o: est une droite AB passant par l'origine et taisant avec ÂX un angle de 4^ degrés [moitié de l'angle des axes).

Si l'on égale à o la quantité soumise au radical, il vient

320 COr^STltUGÏlON llli CULllUES ]>U Sr.COND DEGllG

et la valeur de y prend la l'orme

Prenant sur AX les distances AG = i , AH = 2, et menant par Iss points G, H les pamllêies GG', HH' à l'axe des /, on obtient D, E pour les points où la courbe rencontre son diamètre.

Maintenant, il rfeulte 'de la forme même sous laquelle est mise la quantité soumise au radical, que toute valeur de x inférieure à i ou sapcrieure à 2 rendrait cette quantité négnthe, et que, par suite, les valeurs correspondantes de/ seraient imaginaires.

Il ne peut donc y avoir aucun point de la courbe situé en deçà et au delà des parallèles GG', HH'.

Biais toute valeur de x supérieure à 1 et inférieure à a rendant, au contraire, !e produit des deus facteurs x — \,x — i négatif, et, par conséquent, la quantité sous le radical positive, donnera pour j' des valeurs

D'où il suit que la courbe est entièrement comprise entre les droites GG', HH' auxquelles elle est d'ailleurs tangente en D, E, et se trouve Umitée dans les deux sens des x positifs et des x négatifs.

Comme, d'après l'expression générale de 7 en a:, à des valeurs Jlnies. de x il ne peut correspondre que des valeurs ^nics de y, la courbe est aussi limiiée dans les deux sens des/positifs et des j négatifs.

Ces dernières limites peuvent s'obtenir (298) en résolvant l'équation proposée par rapport à x.

Mais il existe (303 ) d'autres limites plus avantageuses.

Puisque DE représente en grandeur et en direction l'un des dîamèLi'c-s delà courbe, h point ud/ieuO de DE en est le «■/«/■£■, et ce ceuiie a pour abscisse

AG +An 3

?, Posant X = - dans l'expression de f, ce qui donne

X^ ---; dou 7 = 2, y^-- 1,

et' portant sur la parallèle à ÂY menée par le point 0 les deux distances IN = 2, 1.N'= I, on obtient NN' pour le dininctre conjugué à\ià'mtnelT6BË, et les droites LNM, L'N'M', parallèles à DE, pour les limites de la courbe dans le sens des j; en sorte que la courbe est entièrement comprise en dedans du parai iélogramme LL'M'M,et peut, d'ailleurs, être construite d'après le moyen indiqué au n' 303.

BÉD. DE LA DISCUSS. BF, l'ÉQ. GÉN. PAR LA Sfil». DES Viit. 321 Deuxième exemple :

^= i^j ^ 3^'-4- 2j ~ 4-^ - 3 = o {fg. 144 )■ On déduit de cette Équation

Le diamètre y' = x — i peut ôtre facilement construit et se trouve rcprésenlé sur la figure par la droite indéfinie BCK. Points de rencontre de ce diamètre avec la courbe :

et, par suite,

Prenant sur AX,

AG---f, AU = 5,;

puis, élevant aux points G, Il des parallèliis à AT; et portant e droites di

on obtient I, 1' pour les poinls d'intersection cherchés.

Ces parallèles sont les limites de la courbe dans les deux sens do l'axi des J^.

Comme II' représente un diamètre en grandeur et en direction, le /wi« milieu 0 est le centre de la courbe; et AR, ou l'abscisse de ce centre, ) pour valeur

Faisant donc ■v = ~ dans l'expression de j-, on trouve

j = ±: - i/a = 7t. -1,1 , a moms de o , i près ;

et si l'on porte a, i de 0 en N et de 0 en N', on obtient NK' pour le conjugué Av. diamètre II', et, par suite, LL'M'M pour le parallélogramme circonscrit à la courbe.

Les hypothèses y=o, x = o, faites successivement dans l'équation proposée, donnent :

Pour r = 0,