Premier exempte
3lG CONSTIVDCTION DE COUnBES eu SECOND DEGRÉ
On déduit de cette équation,
Construction dti diamètre y' = rtz —-i.— On obtient successivement, et pour r'— o,
r les deux axes AY, AS, les dislances AB^ -I, AC = -i
et lira/Il la droite indéfinie BCE, on a le diamètre cherché. Point d'intersection lie la courbe et du diamètre. — 11 faut poser
Soit AG- ;
^o; d'où ■■>: = — '?.•
(hrc GG' parall élément à AY, le point H S'
le [f nt de nncontrc.
D un -lutie cote le coefficient do ^ sous le signe radical de la valeur de r étant po^i'rf, il s'ensuit (297) que la courbe s'étend indéfiniment à Il dioile de GG tant au-dessus quîau-dessous de son diamètre, et est tangente en H a GG'; donc elle affecte la forme et la position indiquées par la figure
On peut du reste, trouver autant de points de la courbe que Ton voudra en attribuant à x une série de valeurs, et en construisant les deux valeuridei correspondantes.
Il e=!t d usige de rechercher, par exemple, les points où la courbe rencontre les axe";
Or, pour ic = o, l'équation proposée devient
j'h-2j[ == o; d'où x= — i-t,/^i,
et pour j= o
= v/ti5
La double valeur de j est facile à construire.
BÈD. DE LA DISCUSS. DE L'ÉQ. GÉN. PAR LA StV. DES ¥AR. 3
Si l'on prend, à cet effet, d'abord AD = i , comme on a déjà AB = i , s'ensuit que BD = (/a ; portant alors BD sur AY, de B en K, et de B en I on obtient deux points K, K' appartenant à la courbe.
Quant aux deux valeurs de ^, on prend
AI=i^, et Ar=-^!
les points I, I' appartiennent encore à !a courbe, qui peut ensuite 6 tracée assez rigoureusement, comme étant assujettie a passer par les c, pointe K, r, H, K', I.
Deuxième exemple :
d'eu
Cttiistraction da diamètre y' = x -i- a. — On a pour i- = o
Prenant AD = AC ^- a et liiaiit CBE, on obtient le diamètre clicrclic. Point d'inierscction de la courbe et du diamètre. — Ce point, étant donné par la relation
l;st situé sur AY; et comme on a
il en résulta que la courbe est tangente en B à cet axe.
De plus, comme le coefficient de jt est positif sous le radical de la valeur de y, il s'ensuit que la courbe s'étend indéfiniment à partir du point B et à la droite de AY.
En faisant y -■=- o dans l'équation donnée, on t^ou^■e
équation du second degré en œ dont les racines sont imaginaire prouve que la courbe ne peut rencontrer l'axe des .'■. Pour obtenir d'autres points, faisons, par exemple,
v= Sdz i/3 ou j-= 3± 1,7 à moins d« 0,1 près.
3i8 rasSTiiucîiON m; coubrks »u seconii begrE
Comme, d'après les constmclions déjà exécutées, on a CP-=PQ-^ 3,
il s'ensuit que, si l'on porte 1,7 sur PQ de Q en M ot de 0 en points M, m appartiendront à la courbe. Soit encore
,r = AP' = 3 ; il en résulte
Portant la distance 3 de 0' en M' et de Q' eti m', les points M', partjennent à la courbe qui peut maintenant Êlre tracée d'une 1 suffisamment rigoureuse.
Troisième exemple :
r'4- ejTj+gar^-^j.-
J--3^-hi±V^ = -
et, par suite,
équations dont l'ensemble représente un système de <Uit.v limites parallèles ayant respectivement H- 5 et — 3 pour oi-donnéa- à l'origine, et — 3 pour coefficient d'inclinaison.
On reconnaît ainsi que la proposée peut Être mise sous la forme
(J^ 3^ 5] [ j-f- 3^-- 3) = o {voir le n" ?.09).
311. Remarque I. — Dans les deux premiers exemples, les droites IIG, HE lj%. 141) et BY, BE (Jïg. 14a) forment nécessairement un .ijstèmi: d'axes conjugués; et comme, pour la première courbe, le paramètre à ce système est égal à ^^ , que, pour ia seconde, il a pour expression -^ ou ^ I rien n'empêcherait d'appliquer le mode de construction développé au n" 292, ainsi que nousl'avons déjà indiqué (302) dans la discussion générale.
312. Re/nairjae JI. — Dans chacun de ces exemples, l'équation, résolue par rapport à x, conduirait à un second diamètre que l'on pourrait construire.
Égalant à o. la quantité soumise au nouveau radical, on en déduirait pour y une valeur qui exprimerait l'ordonnée du point de rencontre de la courbe avec ce diamètre; et, en menant par l'extrémité de cette ordonnée supposée construite, une parallèle à l'axe des .r, on obtiendrait une tan-
bSD. BE la DISCUSS. 1»E l'ÉQ. r.ÉN. PAU LA SÉP. TES VAR. 3ig
gente à la courbe, qui la limiterait dans le sens des j. Le point de contact, qui n'est aiitve que le point de rencontre de la courbe et du diamètre, est dit un POINT LIMITE de la courbe.
Dansla/g'. 141 ce point limitb est très-voisin du point K', et dans la fîg, i4a il est très-rapproché du point m.
Ce mode de détermination des points limites dans le sens des axes, susceptible d'être employé toutes les fois qu'il s'agit d'une courbe du second degré, n'est pas toujours possible pour des courbes de degré supérieur. Mais voici un autre moyen applicable dans tous les cas. Soit/(.c, J-) =0 l'équation proposée.
Déterminez le coefficient d'inclinaison de la tangente en un point ((iielconque {x',y') delà courbe, d'après la règle du n" 102.
Égalez à o le numérateur de ce coefficient, ce qui donne une équation en 3:\y' qui, combinée par élimination avec l'équation f[x\j'] = o, fera connaître tous les points de la courbe où la tangente est purnUéle h l'axe des x.
En égalant à o le dénominateur, an obtiendi'ait d'une manière analogue les points où la tangente est parallèle h l'axe des y. Nous aurons plus tard l'occasion d'appliquer celte règle. Voici de nouveaux exemples pour la classe des paraboles, sur lesquels on peut s'exercer :
y' — ^xy -i- ^x'' -i^ iy — ^x -i- ^ = 0,
