X --=1 = AP
le radical de l'expression {■}.] devient
d= -^/5 = ± 1,1, à moins de o,i prL.i.
334 APPL. DE LA JlfiTII. liK DISC. PAR LA SÉP. DES VAK.
Portant sur la droite FF', à partir du point E, les deux dislances EE', EE", on a deux nouveaux pointa, E', E", appartenant à la courbR. Coit enfin
la valeur du radical devient
=h-/io = -Az^ — -±1,1, à moins de o,i \>rh:i;
ce qui donne les points K et K'.
Ces constructions donnent déjà une première idée de la courbe qui se trouve composée de quatre branches s' étendant au-dessus et au-dessous de \a parabole -diamètre, et toutes les quatre indéfiniment dans tous les sens, puisque l'expression {a) de j est toujours réelle, quel que soit jt.
Voyons actuellement si cette courbe a des asymptotes.
Le radical \/x' -+-4 revenant à .r'i A -î-t-ji si l'on néglige la fraclion — 1 la valeur de j se réduit à
etl'onprouverait, commeon Vafaitauii°306, que les lieii^ gêomélriqties exprimés par cette double équation sont des asymptotes h. la courbe cherchée.
Occupons-nous de leur construction.
Supprimant \acceiit et séparant les deux équations, on trouve, d'abord pour le signe inférieur,
puis pour le signe supérieur,
La première équation représente la droite L'B'BL, pour laquelle on a
AB' = — I, AB.= -i;
et co qu'il y a de particulier, c'est que celte droite est tangente en B' à la parabole-dinmètre .
En effet, si l'on applique la métnode des dérivées (102) à l'équation (3), on trouve pour le coefficient d'inclinaison de la tangente en un point quelconque {^',y'),
À L.\ COKSTltCCÏION DB COIJBBES !)E ERGRfi SUPÉRiEUJl.
Or, si Vùn pose
valeur qui correspond au point B' de la parabolo, on îrouve
qui exprime enmSme temps \a cnejficicu d'inclinaison de la droi'^
La seconde équation résolue par rapport à x donne
qui représente une autre pababolb ayant pour premier axe une parallèle NN' à AY, menée à !a dislance AC = -, et pour ordonnée de son point d'intersection aïec cet axe,
en sorte que le second axe est CIT.".
D'ailleurs, comme x = ci donne j = — i dans l'équation de la première parabole et dans l'équation de la seconde, il s'ensuit qu'elles passent toutes deux par le même point B'.
Il est alors facile de reconnaître la position de cotte seconde parabole, qui est représentée par la courbe S'E'IVS.
Celle-ci est asymptote à la portion U'AE'GKU de la courbe cherchée, et la droite LL'est asymptote à l'autre portion ÏÏ'G'HE''K'H".
iV. Jî. — Il existe, pour celte seconde partie de la courbe, une espèce à'wjlexioii au point H qui a pour coordonnées
.r ^ o ot x=-- — '>.,
infiesion qu'il est important de caractériser.
Formons, à cet effet, le cnejpcient général d'incUiuiison d'après l' équation (i); on obtient (192)
et si l'on pose il en résulte
336 APPL. CE L\ MÉTM. DE DISC, PAU LA SÉP. DES VAB.
ce qui prouve que la Ungenle ÏHT' au point H est parallèle à l'asymplole
dont l'équation est
On justifie ainsi la forme donnée en ce point à la branche Il'Ilir.
Quant à la première branche U'AE'GKU, on voit qu'elle doit avoir nn point ju la tangente est /joraZ/èfe À l'axe îles x; et, pour l'obtenir, il faut égaler à zéro le numérateur de « ; ce qui donne, après la suppression des
■iJ^r — aj + 3j:'— a — o,
«qiialion qu'il sufiirait de combiner avec l'équation do la courbe
j" — X j- -i~ ïxy — X -I- T.f -t~ J.X = o.
Comme j n'entre qu'au premier degré dans la première, l'élimination de celte inconnue est facile, et l'on parvient ainsi à une équation du cinquième degi-é en a; dont le dernier terme est né^atij, et qui a, par conséquent, au moins une racine positive. Nous laissons ce calcul à exécuter.
Di:iixièmc exemple :
(i) .■L''f-^'ixy-x'+y = c, if g. 149).
En résolvant cette équation par rapport à jr, on a
expression qui montre que la courbe est située tout entière mi-ilessus l'axe des.r, puisque ^ ncgn/zf donne pour x des valeurs iineiginuiivs. Posant
pour avoir un des diamètres, et chassant !e dénominateur, puis, supprimant Veiccent, on arrive à l'équation
qui est celle d'une hyperbole équikttère (les ases étant supposés rectangulaiivs), rapportée à un système de coordonnées />o/oWèfc.ï à ses asymptotes (307, 3°), et que l'on pourrait construire facilement.
Hais on peut se dispenser d'exécuter cette construction sur la figure, parce que la forme et la position de la courbe se détermineront plus simplement par les considérations suivantes :
A LA CONSTRUCTION DE COUllBES DU DEGRÉ SUCÉRIEUP.. 33;
L'Équalion résolue par rapport à j doiiiio ou, si l'on effectue la division,
Cette dernifcre forme met immédiatement en évidence deux asymptotes, savoir
Car X étant supposé égal à \infini positif ou à Yin/mi ncgalif, ~
âevit'nt nu!, et la valeur de j se réduit à
D'un autre côté, si l'on pose la \aleur de y devient infinie.; d'où l'on voit que les droitL'S
qui peuvent être représentées par îes droites B'BB", CC, respectivement p/irallétes aux ases AX, AY, et pour lesquelles on a
