AB = 1 , AC

jouissent toutes deux de la propriété de ne pouvoir rencontrer la courlo qu'àl'in^/H,

Il reste à prouver, conformément à la remarque du n" 315, qu'elles satisfont à la condition essentielle de se rapprochpr indéfiniment de Ir courbe.

Reprenons, à cet effet, l'équation (5), et faisons d'abord croitre x depuis 0 jusqu'à -H os .

Pour X = o, on trouve

qu'indique, d'ailleurs, l'équation (1), qui fait voir, en outre, quel; urbe est tangente en A à l'axe des x, puisque de cette équation l'oi

des valeurs de plus en plus gnuidcs, 7—7-- diirdni^i

courbe est tire, pour/=: o

Al', ih VJl. à k

lie plut en plus, et, par suite, i — , ou /, iiiigmeiite continueUemenl

eans toutefois pouvoir dépasser i ; et, quand on suppose enfin

devient nul, et j se réduit à \' unité.

Donc une des branches de la courbe, en partant de l'origine A, Je rapproche sans cesse et autant que l'on veut de la partie B!ï' de la droite 7=^1.

Maint«nant, faisons croître ic dans le sens négatif .

Si l'on donne d'abord à x des valeurs comprises depuis o jusqu'à — i «t croissant er q enent x -h se m/J/JJ-ocfora de plus en plus deo;

donc en re tant po if deviendra de plus en plus grand et se

rapprocfera o t elle c t le l nfini [Jîg. i4d); il en sera do inÈfflo dej, etlon>q oa supposera

la valeur de y deviendra infinie; ce qui prouve qa'une seconde branche de la courbe, partant du point A, va en se rapprochant sans cesse de la droite CC' qu'elle ne peut rencontrer qu'à Yinfni.

Ces deux branches se réunissant au point A, et devant être tangentes à l'axe des x, constituent ainsi une première partie de la courbe cherchée, partie qui est représentée par la ligne continue D'AD.

On démontrerait par des raisonnements tout à fait analogues qu'il esiste, à la gauche de CC, une seconde partie de la courbe dont les deux branches réunies en une seule ont pour asymptotes la même droite CC, ou a; = — 1 , et la portion BB" de la droite j—i.

EGE' figure cette seconde partie dala courbe.

Troisième exempte :

(i) y' ~Zuxy-\- x'-. o [Fo^ium c/f Descamtës] {fg.i5o).

Cette équation ne peut être résolue directement ni par rapport à j', ni par rapport à x\ mais la transformation des coordonnées fournit toujours, pour une équation du troisième degré, un moyen de faire disparaître la troisième puissance de l'une des variables, et permet ainsi d'exprimer celle-ci en une fonction explicite de l'autre.

En effet, si en supposant les ases rectangulaires on a recours aux formules

A LÀ CONSTRUCnOK DE COUniiES BB DEGRÉ SUPÈRIEUH 33g

ec qu'on remplace dans l'équaMon (i) les anciennes coordonnées par leurs valeurs en fonction des nouvelles, le coefficient de j, par exemple, a pour

espression

cosV - ein'-v..

Égalant à .

e cooilicient, et divisant par cos'«.

, on obtient

tani

I, (('où taiig«"i, siii