SUR LA LICNE DROITE

', j', z' les coordonnées du point donné, et soient

tes équations de la droite aussi donnée. Celles do la droite cherchée sont (ST-i) de la forme

a', h', étant des quantités qu'il s'agit de déterminer.

Or, puisque les droites sont parallèles, t^ plans qui les projettent respectivement sur les deuï plans des iczet des ja doivent être parallèles; donc les intersections de ces plans parallèles avec les plans coopdonnés, c'est-à-dire les pmiections des deux droites, sont ellEB-mûmcs /lurallèlej. Ainsi l'on a nécessairement (59) les relations

co qui donne (inali'.ineiit pour les équations de la droite chercliéc,

376. Troisième question. — Deux droites étant données par leurs équations, exprimer par l'analyse que ces droites se rencontrent, et troufer, dans ce cas, tes coordonnées de leur point d'intersection.

Soient (,} ^^«.^.,

et

les équatjons des deux droites.

Si elles se coupent, les coordonnées de leur point d'intersection doivent vérifier à la fois les quatre équations ci-dessus : ainsi ces coordonnées ne sont autre chose que les valeurs de x, y, z propres à satisfaire en même temps à ces équations; et comme on a trois inconnues à éliminer entre quatre équations, on doit nécessairement parvenir à une relation entre les constantes u, i, «, §, «', V -, "', ^'^

Les équations (i) et (3), (a) et (4), retranchées successivement l'une

4^0 QUESTIONS i'uÉLi»ii!S'Aiiir,a

de l'auire, donnent

0= (a-«')î-f-i — a', d'où s = ^"Ji

Or ces dcuï valeurs de z doivent être égales; on a donc

Telle est la relation qui doit exister entre deus droites se coupent.

En supposant que celte relation soit données du point d'intersection,

constantes, pour que les on obtient, pour les coor-

lA--e,h<

Soit, comme cas particulier, a — les deus droites sont parallèles; Vét

Il = 6', ce qui signifie (375) qne n (5) est satisfaite, et les valeurs

de X, y, z se réduisent à la forme — , résultat analogue à celui du n* 61 ,

377. Quatrième question. — Deux di-oites étant données par leurs équations, déterminer l'angle qu'elles forment entre elles.

les équations des deux droites.

Il peut se présenter deux circonstances : ou les droites se coupent, auquel cas l'équation de condition du numéro précédent est satisfaite; ou bien, elles ne se renconti-ent pas.

Dans l'un et l'autre cas, si d'un point quelconque de l'espace on conçoit deux autres droites respectivement parallèles aux droites données, c'est l'angle formé par ces parallèles qu'il s'agit de déterminer.

Pour plus de simplicité, nous prendrons le point dont nous venons de parler, à l'origine même des coordonnées.

Swent donc AL, AL' [fig. igi) dos parallèles aux dous droites, on a (372, 37b), pour leurs équations,

ï = oî, j=L,,

Pour obtenir l'angle LA.L', prenons sur les côléâ de cet angle deux parties AM, AM', égales à i; puis joignons les points M et M', dont nous désignerons d'ailleurs les coordonnées par x", y', z', et j;", y", z".

Cela posé, en appelant D la distance MM', on a (369), pour l'espression de celte distance,

ou développant, et observant que les coordonnées du point M et celles du point M' sont liées [309, N. £.) par les relations

D'un autre côté, le triangle AMM' donne, d'après un principe de Trigonométrie,

ASÏ'-t-AM''- WS' 2-D'

GosMAM' ou cosV = -

îAMxAM' " a ' ou, meUant pour D' sa valeur dans cette expression,

(5) C0sV-= x':i'''-i-j-'f''-nz'z.\

Donc tout se réduit à obtenir les coordonnées x', y', z' et ^°, j', z' en fonction des constantes a, b, a', b'.

Or le point [x\x', z') se trouvant sur la droite AL, ses coordonnées doivent vérifier les équations (i); ainsi l'on aies deux relations

suffisent pour déterminer les trois quantités x', y\ z'.

Portons dans cette dernière relation les valeurs de x' et de 7' tirées 3es deux premières ; il vient

:o qui donne ensuite, pour y' et .r , b

yGoosle

4^2 QUESTIONS rnÉuMiNÀiRKS

On obtiandrait de la même manière , pour les coordonnées a-", t", ;' du point M,

Substituant ces valeurs dans l'équation (5), on obtient enfin, pour le cosinus de l'angle demandé,

(6) C0SV= '"'''^!'''[^\^- :r..:=:-

Cette expression, renfermant un radical, est susceptible de deus valeurs : et cela doit Être, puisque les deux droites forment entre elles deux angles suppléments l'un de l'autre,

378. On peut trouver une autre espression de cosV, au moyen nh certaines considérations dont nous ferons souvent usage.

Abaissons du point M la perpendiculaire Mm au plan des .rj, et menons mP parallèle à l'axe des j; on a, d'aprte cette construction, AP — 3;', Pm = j', Mm= ï'. Déplus, le plan MmP étant parallèle au plan des j-^, la ligne qui joint le point M au point P est perpendiculaire à AP ; et comme on a pria AM = 1, il s'ensuit que AP ou x' est égal au cosinus de l'angle que forme la droite AM avec l'ase des .z.

On démontrerait, d'une manière analogue, que 7' et z' sont respectivement égaux aux cosmos des angles que forme la droite avec les axes des jet des .:.

Donc, en appelant n, ê, -^ ces trois angles, on a les relations

On obtiendrait de même, par rapport aux angles a.', fi', 7', que forme la droite AM' avec les trois axes,

Ces valeurs, étant portées dans l'équation (5) du numéro précédent donnent

(7) cosV— cosacosa'-i-cosS cosS'-i-cosycosï'.

379. Les calculs précédents conduisent à des conséquences fort im portantes.

1° La relation '3) (lu n° 377 donne, lorsqu'on y remplace ^', j', :