II est à remarquer que l'équation
exprime non-seulement une relation entre les x et les z de tous les points, de la droite mn, mais encore une relation entre les ic et les s de tous les points du plan H;nNM imaginé par mn, perpendiculairement au plan des xz\ car, pour tout point ti de la perpendiculaire nM à ce plan, les coordonnéesaretasont(366) représentées par mP, AP, qui appartiennent aussi à la droite mn.
Pareillement, l'équation
convient non-seulement à tous les points de la projection m'n', mais encore à tous ceux du plan hi'«'NM mené perpendiculairement au plan des j2 par la droite m'n'.
Donc le système de ces deux équations existe pour tous les points de la droite HN, intersection des plans perpendiculaires, et n'existe que pour ces points. Ces équations sont, en ce sens, les éqtuuions da la droite ellemême, quoique, d'abord, nous ne les ayons établies que comme celles des deux projections.
Il résulte de !à évidemment que l'élimination de la variable z entre les deux équations donne lieu à une troisième équation en x et j', qui représente la projection m'n" de la droite sur le plan dos xy\ ou plus généra-
ÉQUATIONS DE Li LIGNE DROITE DANS l.'ESrACE. 4'>
lament, œtte équation appartient h tous les points du plan ll'Sfi'ni" mené par li droite MN perpendiculairement au plan des an-.
372. Cas particuliers. — Lorsque la droite passe par l'origine, il en est de même de ses projections; ainsi (370) les distances a, ë sont nulles et les équations de la droite se réduisent à
Il peut arriver que la droite soit située dans l'un des plans coordonnés, par exemple dans le plan des xz. On a alors, pour tous les Doints de cettu droite, r = a, et les équations deviennent
ce qui est évident d'ailleurs, d'après la figure, puisque la projection de la droite sur le plan des ja se confond avec l'axe des s. Marne raisonnement par rapport aux deus autres plans coordonnés.
373. Tant que les constantes a, b, a, S sont données à prinri, la droit" est complètement déterminée de position. Pour en obtenir les différents poinls, il suffît de donner, dans lus deux équations
h. la variable î par exemple, une valeur particulière a' : ce qui entraîne pour chacune des deus autres, x et /, une valeur correspondante,
Prenant alore sur AX une distance AP = x', on mène Vm" parallèle à AY et égale à /': puis au point m" on conçoit une perpendiculaire au plan des xy qui soit égale à a", et le point M ainsi déterminé appartient à la droite. On obtiendrait de la même manière tous les autres points.
Hais on peut se proposer de déterminer les constantes a, b, a, S, d'après ceriaines conditions ; ce qui donne lieu à une série de problèmes en trois dimensions, analogues à ceux que nous a présentés la ligne droite considérée sur «n plan.
Questions préliminaires relatiocs à In ligne droite.
374. Première Ouestion. ~ Trouver les éi/iiatioiis d'une droite, assit- /eltie à passer par deiix poinls donnés.
J,<. de VJl. h la G. 23
4l8 QUESTIONS l'IlÉLIH IN AIRES
Appelons ^', y', ^ les coordonnées du premier point, .c", y'\ z." celles du second point. Les équations de la droite cherciiée seront d'abord de la forme
ti, b, a, ë étant des quantités inconnues pour le moment.
Or les points (j?', j', s'), [x", y", s") appartenant à la droite, leurs coordonnées doivent vérifier les équations (i) et [2], et l'on a les quatre relations
(3) :c' = nz-^:..
(G) y'^bz"^'',.
En appliquant à ces sis équations la métliode du
d" 'SI,
œssivement
j^y'^!j[z~z-), y^y"^l,[z' d'où
et, par conséquent,
Ces deux dernières équations, qui ne rfenlerment plus que les variables x,x, z, et les quantités connues a', y\ ^\ x", y'\ z", sont les étpmtions cherchées.
N. £. — Quant aux équations
■obtenues dans le cours du calcul, elles caractérisent une ligne droite passant par le point {^',f', z'], puisqu'elles sont satisfaites par les liypothèses
I.es quantités a, b se déterminent ensuite au moyen d'une seconde condition que l'on peut imposer à la droite ; dans le problème précédent, «ette condition consiste à faire passer la droite par un second point.
375.- Deuxième question. — Pur an point donné hors d'une droite, mener une parallèle à cette di-oiit;
