COS7 COS

Donc les constantes o, b des équaliops d'une droite ont respectivement pour valeurs les rapports des cosinus des angles que forme la droite avec l'axe des x et avec l'axe des y, au coiinas de l'angle qu'elle forme ai>ec

y Enfin les équations (8), ou

cos* — acos7,

cosp = icos7,

étant olovées a

u carré et ajoutées a

veo l'identité

donnent

cos'o donc

.-HCS-S^CO...,'.

coaS ''

Ces dernières formules servent à déterminer les angles que forme une droits avec les trois axes, connaissant les tangentes a, b des angles que les projections sur les pians des xz et des )-z font avec Taxe des z.

Béciproquement, lorsque l'on donne les angles que la droite forme avec les trois axes, les formules (8) font connaître les constantes a,b des équations de la droite.

Nous observerons à ce sujet que, d'après la relation

Il lie les angles w, 6 / on ne peut donner artitrairement que deux de s angles, et la relition dmne la valeur correspondante du troisième

380 Re].renon>. h l')rmule (01, et voyons ce qu'elle devient dans les

424 QUESTIONS mf-I.ISllSAlRllS SUR LA LIGNE BROlTi;.

deux hypothèses où les droites données sont pamtlèles ou perpend/ni- Imres entre elles

Dans le piemier cas, on doit avoir cosV = i, et l'on obtient entre «, b,a,b' la relation

Faisant di'iparaitre le radical, développant et réduisant, on. peut lu transformer aini

Li^uatioT qm ne peut évidemment exister, & moins que l'on n'ait a?parâment a = a\ b = b', ib' = bn'.

La dernière de ces trois relations est implicitement comprise dans le? deux autres; et l'on sait déjà (375) que celies-cî expriment que deux droites dans l'espace sont parallèles.

Dans le second cas, cosV doit être /l'd : ce qui donne nécessairement

Telle est la condition qui exprime que deus droites sont pcr/iemlkutaires; ce qui peut avoir lien d'ailleurs sans que ces droites se coupent. En y réunissant l'équation

trouvfe n° 37l>, on aurait les deux relations qui doivent exislcr entre les constantes, pour que les droites se coupent à angle droit. La formule (7) devient, dans la même circonstance,

C0SaC0Sa'-HC0SêC0sS'-+-C037C0B'/ = o,

résultat dont nous ferons souvent usage.

Nous pourrions, à l'aide des principes qui viennent d'Être établis , résoudre en trois dimensions le problème que nous avons résolu (i5S) en deux dimensions ; abaisser d'un point donné hors d'une droite une perpendiculaire sur cette droite, et trouver la longueur de cette perpendicalaire.

Mais les calculs relatifs à cette question ne laisseraient pas que d'être assez compliqués, et nous verrons bientôt un moyen beaucoup plus ample de la résoudre.

381. Scolie général. — Les principes établis sur la ligne droite, depuis îe n" 370 jusqu'au n" 376 inclusivement, sont vrais, quidle que ioic Pinclinaison des axes coordonnés. Ainsi, dans le cas d'axes obliques, les équations d'une droite sont toujours de la forme

sealement les droites, au Jieu d'être projetées sur les plans coordonnés par des perpendiculaires à oes plans, le sont (iQ%] parallèlement aii:^ axer, et les quantités a, b n'expriment plus des tangentes trigonométnques, mais des rapports de siniix ; les constantes a, ê conservent la même acception.

I.es équations d'une droite passant par deux points donnés, les conditions de parallélisme de deux droites, etc., sont aussi indépendantes de Y inclinaison des axes; mais il n'en est pas de. même de la question qui a pour objet la détermination de l'angle de deux droites, et de toutes les conséquences qui en ont été déduites, puisque l'on fait entrer en conâdération l'expression de la distance entre deux points donnés.

Cette remarque est importante pour ceux qui voudraient faire quelques applications de ces principes

§ H. — De l.'liQUATION DU PLAN ET BE SES COSIBIXAISONS

3S2. De mâme qu une ligne dioite est fixée de position sur un plan par une équation du premier degré eniie les coordonnées x, y de chacun do ses points rapportés à deux d\cs nous allons reconnaître qu'un plan se détermine aussi de position par ripport à trois autres plans, au moyen d'une équation du pren ler dc^ié en x,y, z\ ces variables désignant les distances de chacun des point» du plan aux trois plans coordonnés.

Soient DB, DC {fig. iga) les traces d'un plan quelconque, c'est-à-dire les intersections do co plan avec deux des plans coordonnés (qui peuvent être indifféremment rectangulaires ou oblk|ues).

Parmi les difTérentes manières de concevoir une surface plane, il en est une qui consiste à regarder cette surface comme engendrée par le mpupeinent d'une droite indéfinie glissant le long d'une antre divite, aussi indéfinie, sans cesser d'être parollélu à elle-même.

Ainsi, par exemple, ai, par les différents points de la droite BD, on imagine une suite d'autres droites D'C, D'C°,,,,, parallèles à DC, il es; évident que cette suite de droites appartient au plan que nous considérons ; par conséquent , ce plan peut être regardé comme engendré par le mouvement de la trace DC le long de la trace DB, de manière à rester constamment parallèle à sa direction primitive.

C'est cette propriété caractéristique que nous allons essayer de traduire en analyse.

Comme la droite DB se trouve tout entière dans le plan de xs, ses équations sont (372] de la forme