ÉQUATION DU PLIS

Par une raison analogue, les liquations dD la trace DC son!

[Nous supposons ici les équations résolues par rapport à i, parce que les deux traces doivent passer par un point D, dont le s [ou p) est commun aux seconds membres de ces équations,]

Cela posé, considérons la trace DC dans une situation quelconque, D'C par exemple; on a nécessairement (375), pour les équations de cetto droite parallèle à DC,

j e sont des quantités confiantes pour loua îe=i points d une même position DC de la géneratnce maio ratichlta dune position à une lulie D'L"

Il nous redite encore \ exprimer que la géniîratnce rencontre dans toutes se- positions la (nce DB et pour reh il faut (376) écrire en anahse qui, les équations (i) et (31 ont heu en môme temps ; ce qui donneia une lelation entre les mdetei rainées ,- ê et les quantités connue"* m u, p

Combinons doue ensemble ces quatre équitions

La seconde des équations ( 3 ) devient, à cause de la première des é([u.itions (i),

Portant les deux valeurs

dans la seconde des équations (i), on obtient, pour la relation demandée,

Observons actuellement que, pour chaque position delà génératrice, les équations (3) et l'équation (4) doivent être satisfaites simultanément ; donc, si l'on élimine entre ces équations les indéterminées «, S, l'équation résultante en .ï7, y, i et Ira quantités connues appartiendra aussi à tous les points du plan.

Or les équations ( 3 ) donnant

l'équation (4) devient

(5) s=-- mx^uj ^p.

Telle est, en général, l'équation qui exprime la position d'un plan dans l'espace, et qui en est, pour ainsi dire, la représentation analytique.

ftQUATION DU PLAN. 4^7

Pour faire concevoir comment cette équation reprôsente chacun des points de la surface plane, supposons qu'on ait pris, pour los variables x, y, un système de valeurs

■^Ad',

si du point (^ on élève c'E perpendiculaire au plan des xy, et égale à la valeur correspondante de z, tirée de l'équation [5], le point E', ainsi déterminé, appartiendra au plan, et ne peut appartenir qu'à lui.

Même raisonnement pour d'autres valeurs attribuées à .c et à j.

N. S, — De tous \fa moj ens qu on emploie ordinairement pour trouver l'équation du plan , nous ai ons prcferé le précédent, d'abord parce qu'il a l'avantage d'être indépendant de 1 inclinaison des ases coordonnés, et ensuite parce qu'il s applique à la recherche des équations d'autres surfaces dont la génération ollie de 1 analogie avec celle du plan. Noua en verrons des exemples pnr la suite

383. Les constantes m, «, p, qui entrent dans l'équation du plan, sont faciles à définir. Ainsi les quantités m et n ne sont autre chose que lex tangentes des angles que forment les traces DB, DC avec les axes des a; et des j. Quant à la quantité p, on l'appelle le î à l'origine : c'est la distance de l'oiigine au pnini où le plan i-encontie l'axe des z.

Lorsque le plan passe par l'origine, on a

"X l'équation se réduit à

équation qui ei

n effet, v