I. > o Ki > o. Cône imaginaire, L<o ou L>oKA<o. Côneréel

Si a = o, on a un cylindre ayant pour base une ellipse, une hyperbole ou une parabole. I^s équations réduites pour ces cylindres sont

pour les cylindres à centre,

Sj'M-aC.E==o

pour le cylindre parabolique. Mais, les deux invariants H, A étant nuls, on n'a aucun moyen de calculer par la théorie des invariants « ou C. Nous allons lever cette difleulté, en établissant l'existence d'un nouvel invariant spécial pour les cylindres.

Soit

l'équation du cylindre. On a, identiquement,

et, par suite,

Le second membre, égal à zéro, représente deux plans; il doit en être de même du premier. Donc, pour le premier membre, le Ilessien et tous ses mineurs du premier ordre seront nuls. Le Hessien est

C C G" D— ï Prenons les mineurs obtenus en supprimant la première ligne et la pre-

NOTn xvtn.

mièr

e colonne, la deuxième ligne

et la deuxième colonne,

etc.

. Ces [i

devr

ont être nuls. Prenons le premier

1 C C On déduit de hi

Hj désignant le dcterminanl qi

j! est évidemment la dérivée du

par rapport k A. En prenant les deux équations analogues et les ajoutant à la précédente, on trouve

«(A'A'— B' + AA"— B"-AA' — B"| = H;H-U;. + n;.,,

Le numérateur de cette expression est donc, comme le dénominateur, uu invariant, mais cet invariant, il faut îe remarquer, est spécial aus cylindres. Nous le désignerons par M. On a

et l'équation réduite des cylindres à centre est

En considérant le cas du cylindre parabolique comme cas limite, on voit que, dans ce cas, M sera encore un invariant. Calculons-le sur l'équation réduite

nous trouvons sa valeur égale à — ■ CL. On a donc

- C^S ■= Ji, d'où C = » /-yet l'équation réduite du cylindre parabolique est

Sj' + ^.J=^.v. Ici S-----K.

En réunissant les résultats qui précèdent, on a dono le tableau sui-

KOTE XVllI. tl47

Il -= û L> o elliptique !

( \ t imaginaire, si M < o,

) Cylindres { û— ol lL<o hyperbolique,

M f 0 / \ L ;-- o parabolique.

4° Réduction dam k cas de deux plans distincts. — On a ici toujours H = o, M = o, A = o. Si les deus plans se coupent, l'éciiiation en S a une seule racine uulle, l'équation réduite est

li6) SX"+S'Y'--=o.

Si les deux plans sont parallèles, Isur équation réduite est de la forme

I.^ invariants précédemment établis ne donnent aucun moyen de déterminer a,. Mais, en suivant la même marche que pour les cylindres, on est conduit encore à un invariant spécial. On a

D|A H- A'+A")- C= - C-' - - C™ ^ DK-C'-C"- (7'

Désignons par N le nouvel invariant

jS = D(A+ ,V+ .V'j - C'-C'=-C"^ inéquation réduite sera

(iG) SX'^i-^=.= c.

Ici S = K.

Les résultats trouvés sont renfermés dans le tableau qui suit :

\ réels, si L<o j imaginaires, si L> o, i réels, si N<o N ^ o ""■■*" ' '-"" i imaginaires, si N > o.

i L ^ o doux plans qui se coupent doux plans parallèle Enfin, si II, i, L, M, N sont nuls, on a deux plans confondus.