BB

Telles sont les équations que déterminent les rapports de x,x, ^■

Au contraire, à une racine double correspond un couple de droites confondues; les trois équations (5) doivent être identiques. Elles représentent la droite double. C'est ce qu'il est facile de vérifier. Supposons d'abord que les rectangles ne soient pas nuls, elles se réduisent toutes les trois à la suivante :

('7) Ti'^' 'W^ W "''■

Il y a donc une infinité de directions principales, toutes situées dans le

plan (>7).

Si l'un des rectangles est nul, supposons que le système (i4) soit vérifié; les trois équations qui déterminent la corde so réduisent aux deux

, ) (A-A'jr + B'V-o

se réduisant à une seule, en vertu des équations (lij). On vérifie donc qu'il y a encore un plan de directions principales.

Enfin, si l'équation en S a une racine triple, les équations {5} sont identiquement vérifiées.

En résumé, à une racine simple de l'équation en S correspond une seule direction principale; à une racine double, toutes les directions d'un plan ; à une racine triple, toutes celles de l'espace.

Deux directions principales correspondant à des racines différentes sont toujours perpendiculaires. Soient, en effet, x, y, z, x', y', z' deus systèmes de valeurs correspondant à deus racines S, S' différentes. On aura

h!.— s.c = o, i»;.— sv=ro,

¥?j--Sv-o*, -iç;--S'r'=o,

iç;-S2 = o, i?;,— S'3=o.

Multiplions les équations du premier système par jc\ y\ z', et ajoutons. Nous aurons

Multiplions de même les équations du système par x,f, z, et ajoutons.

HOTE xvir. 635

Nous aiirons

Les deux premiers membres de ces dernières équations étant identiques,

ou, comme SS' sont supposés difiérenls,

ce qui montre que les deux directions principaioa sont perpendiculaires. Il résulte de la proposition précédente qu'on peut toujouis tiou^er daiia tout* surface trois directions principales, deux à deui. rectangulaires Car si l'équation en S a ses racines distinctes, les trois dnections coneipon dantes sont deux à deux perpendiculaires. Si i équation en S a une racine double et une racine simple, toutes les directions principales cor respondant à la racine double sont dans un plan et sont perpendiculaires à celle qu'on déduit de. la racine simple. 11 suffira donc de prendre dans le plan correspondant à la racine double deux directions perpendiculaires entre elles; avec celle qui correspond à la racine simple elles formeront lin trièdre trirectangle. Enfin, si l'équation en S a une racine li iple toute'^ les directioifâ étant principales, il suffira de prendre danf 1 espace les trois arêtes d'un trièdre trirectangle quelconque.

3° Du. plan principal. — Le plan principal correspondant à une corde et à une racine S sera donné par l'équation (8). On voit que ce plan sera à distance finie tant que S ne sera pas nul. Nous avons donc à examiner si l'équation en S peut avoir des racines nulles.

On voit que ce cas se présentera toutes les fois que le déterminant A des équations du centre sera nul, c'est-à-dire pour toute surface ayant un centre à l'infini.

Si la racine nulle est simple, il correspond à cette racine une seule direction principale; l'équation du plan diamétral se réduit à

Cj^-hC'j+Cs^o.

Le p an p ne p 1 est rejeté à l'infini, si cette constante n'est pas nulle ; il es nd e n es pour la direction principale J^,r, s, on a aussi

Si la. racine nulle est double, à cette racine correspond un plan de directions principales. Si toutes ces directions principales sont dans le plan

636 noTK xïu.

tous leurs plans principaux sont indéterminés. Si toutes ces directions ne se trouvent pas dans le plan précédent, l'une au moins s'y trouve. Donc les plans principaux sont rejetés à l'infini, excepté celui qni correspond à celle des cordes située dans le plan précédent. Enfin, l'équation en S ne peut avoir trois racines nulles, car on aurait

d'après la discussion faite plus haut relativement à la racine triple. Nous avons vu (p. 633) que la fonction

ïKj- -l-Sl^'+r'-H-')

se décompose en deux facteu d i g u nulle suivant que

S est racine simple, double t pi d léq In S. Appliquant ce résultat à la racine nulle, t q dan 1 d'une seule racine

nulle ï[ic,jr,z) se décompo nd f te rs d t n ts ; dans le cas de deux racines nulles, c'est u é p f t E é mé, l'ensemble des

termes du second degré égal é p t cône, deux plans distincts ou deux plans confond t q ! é i l n en S n'a pas de racine nulle, a une seule rac II d uUes.

Discussion directe de l'équation en S. — Nous avons vu, dans ce qui précède, que l'équation en S s'obtient en exprimant que l'équation

représente deux plans, que son premier membre se .décompose en deus facteurs du premier degré. Pour cela, on prend les trois dérivées

(10) N;-^Sy=o,

Ces trois équations doivent déterminer la corde principale passant par l'origine, et en éliminant x, y, z, entre ces trois équations homogènes du premier degré, on obtient l'équation en S. Cette équation prend une forme remarquable, si les termes du second degré f [x, y, z), sont écrits sous la forme suivante :

(20) »(.., j, .) = ax^^ a-f^a'z-- K(&^ + h' y ^ If ?.)\

Cette forme se présente dans beaucoup de questions. D'ailleurs, si les termes du second degré

î(.^,j-,-) = A-^-i-A'.r' + AV-w.Bj'^-H^IV.ri + iI!",rj-

yGoosle

KOCE xv!i. 637

sont tels, qu'aucun des rectangles B, B', B" ne soit nul, on peut toujours les ramener à la forme (20) on les écrivant

, . {. ]rB"\ , [., Bli"\ , (.„ BIV\ ,

On voit donc que notre méthode s'appliquera à Véqualion générale du second degré; car on peut toujours supposer que les axes aient été clioisif de façon qu'aucun des rectangles ne soit nul. Si l'on forme les équations (ig), on a ici

/ [a--s).r-kb (&j--t-i'j-t-i''s) = o, {■11) j [n- - s)y - kb- [bx -1- h-y^b'z) = o,

( {a-- s)z -hb'ibx -^ b'y-^ b-z) ^^.

On déduit de ces trois équations

et en remplaçant, dans l'une quelconque des équations (ai)' ■'"j Xi - !'■'■'' les quantités proportionnelles, on trouve l'équation

qui détermine les valeurs de x, et qui est du troisième degré en s. La forme même de cette équation indique que ses racines sont réelles. En effet, chassons les dénominateurs, on aura

^^^1 ) +W\>~a-)(s^a]+hb-[s-a){.^a-] = o.

Supposons que a, a', a' soient inégaux et rangés par ordre de grandeur croissante, et substituons dans le premier membre les nombres —«,(/, a', ii°, + oD , Nous trouvons les résultats suivants ;

l.h^[„-a')(a~~a'], /^b'^ {,.■-,>") {n' -a\ kb" [a" ^ a) [a ^^ <i' ], -r-

qui ont les signes des expressions suivantes ; — li, — ^", -t-^', -t-. Il y a donc une racine de l'équation entre a et a', une entre a et a"; la dernière sera, suivant le signe de *, supérieure à a° ou inférieure à «. Les trois racines sont, on le voit, réelles et distinctes.

Si deusdes trois quantités a, a", a", a, a!, par exemple, sont (égales, le premier membre de i'équation (a3) devient divisible par j~i7,

L'équationdu second degré, qui reste après la suppression du facteur s- — «, a deus racines distinctes. Si l'on substitue, en effet, ~ os , n, n", + «> , on obtient des résultats des signes suivants : -i- /-, — / , -i- . 11 y a donc une racine entre « et a", l'autre en dehors de cet intervalle, et par conlïéquent différente de la première et de a. Les trois racines sont encore distmctM Mais si l'on a o = a' = a'', lo premier membre de l'équation (a3) ile«ent divisible par (j — «)',

(,-a)'[s~a+iib' + h"- + b"'y\^o.

L'équation en S a une racine double et une racine simple 11 n 5 aurait une racine triple que si k était nul.

Quand on aura S, les équations [%i) ou (21'] détermineront la direction de la corde. On voit que, pour une racine simple, ces équations sont distinctes et déterminent les rapports des coordonnées (-r,^', ;) Au contraire, pour la racine double, onaî = fl = a'--«°, les troiséquations(ai) se réduisent à une seule,

te-i- b'j+b"z — o.

11 y a un plan de directions principales,

La forme ( 20 ) que nous avons adoptée pour les termes du second dogré convient, nous l'avons vu, au cas od les trois rectangles sont nuls,' Elle pourrait encore être obtenue si deux des rectangles étaient nuls; mais si un seul est nul, la méthode que nous suivons ne peut s'appliquer.

Supposons B" — o, l'équation en S se réduit alors à

Il suffit de substituer dans le premier membre les nombres — w , A, A', + 00 pour séparer les racines. Le cas des racines égales s'examine aussi

NOTE XÏIII.

IlE LA RÉDUCTIOH IDE l'éQUATIOS D[I SECOND DEGRÉ A SA FOilJlE LA PLUS SIMPLE PAR tE CHAÎIGEMEHr DES COOliDONNÉËS.

l /(^, r, z) = A^-'+ A'j'+ 4"^'+ 2Bjï-i- aB'^3 +- ■xW^j-

) -^ ■t.C^ -h iC Y -h tC Z -h X) — O

l'équation générale du second degré. Nous supposerons, comme dans la Note précédente, les axes rectangulaires, et nous désignerons par ï(j^, j, zj l'ensemble des termes du second degré. On a admis, dans le teste (p. 469), que, par un changement d'axes, on peut faire disparaître les rectangles B, B', B". C'est la proposition que nous allons démontrer.

Pour cela, nous rappellerons que l'on peut toujours trouver trois directions principales deux à deux rectangulaires. Effectuons un changement d'axes en prenant les trois nouveaux axes parallèles à ces trois directions. Nous allons montrer que les rectangles disparaîtront dans la nouvelle équation. Soit, en effet,

A.,x] ■+- à', J-; -t- A'; ^] -+- 2B,,r, ;-, -i- iB', ,>;, :,"-.- ait" j-, -i; -+-... ^ o

la nouvelle équation; le plan diamétral conjugué k l'a-ie de 3 a pour équatiOTi

Ce plan devant être parallèle au plan des xy, on doit avoii-

et l'équation de la surface est ainsi ramenée à la forme simple

(2) A.x~--i-k'fH- A"ï-H- îCe -H 2C'/+ 2C"î + D = o.

Pour trouver les coefficients de l'équation réduite, nous nous appidorons sur un théorème général relatif aux invariants de l'équation du

640 KOIB JV„I.

TjijionÈMiï, — Soie

t'équatinii générale du second degré rapportée à des a Quand on passe du système d 'axes employé à tout au rectangulaires, les fonctions

■xes rectangulaires, ■ire système d'axa

E'- A'A"-!- ])■■'- AA"-i- B"' - AA' = ■

AA'A"+ aBB'IÎ'— A8^ - A'I!"- A^B'^

coefficients de l'équation en S, et te Hessien H consenvnl lear valeur, c'est-à-dire que les fonctions analogues formées avec les nouveaux coefficients ont la même-valeur que celtes formées par les coefficients primi-

•ifi.

Démonstration.— Les trois premières fonctions K, L, û ne dépendent que des coefficients du second degré A, A', A", B, B', B". Si l'on déplace les axes parallèlement à eux-mêmes, i! faut remplacer dans l'équation générale du second degré x,y,z pur x -i- a, y-i-h, z + c Les termes du second degré restent les mêmes, et par conséquent aussi les fonctions K, L, i. Examinons maintenant c« qui arrive quand on change la direction des axes, sans déplacer l'origine des coordonnées.

Les formules de transformation sont de la forme

mx' -i-nf -^ p^, m'x'-i-ny-i-p'z', m"x--hny+p'^;

et elles sont telles d'ailleurs que l'on a

Les deux membres de cette équation sont, en effet, des expressions différentes d'une même quantité, le carré de la distance du point à Torigine. Les formules (i) étant homogènes, tous les termes du second degré if'(x', y, z') de la nouvelle équation proviennent des termes d'i second degré de la première. On a

c'est-à-dire que le premier membre de cette égalité devient identique au second, si l'on y remplace -i;, y, a en fonction de x', y', t par leurs valeurs tirées des équations [ 3 ) .

Multiplions l'équation (4} pari et rotranclions-la de l'équation (5). On

Cola posé, exprimons que le premier membre so dccomposo en deux facteurs linéaires. Il en sera évidemment de même du second, car, si pour une valeur de 1 le premier nombre prend la forme

en substituant les valeurs de j^, j", s, on aura un produit de même forme en x\ y', z'. Ainsi, les deux membres se décomposent en deux facteurs linéaires pour les mômes valeurs de i. Or, nous avons vu, dans la Note précédente, que ces valeurs de 1 pour lesquelles la fonction

se décompose en deux facteurs linéaires, sont précisément les racines de l'équation en S. 11 résulte de là que les racines de l'équation en S conserveront leur \aleurquind on feit le changement de coordonnées indiqué en d autres termes ce '^ont des mvarnnts

Les fonctions k L i qu sont le« coefficients de 1 équation en S et qui repr( sentent K, la somme des racines L la somme des produits deux a deux A le produit des trois racmes demeurent donc inïdrubles par tout chaneement de cnoi données dans leqi el 1 origine domeui c invariable les axes res'ant toujouis rectanguhires

Enfin le déplacement le plus grand résulte évidemment i" dun àiplacement d origine sins chinsement de diieclion a" d un simpli, changement de direction sans déplacement d origine et nous a\onsvu que cesdeut opérations successuesne changent parles fonclionsK L û La démonstntion est donc générale pour les tros premières fonctions II

Pour ceh suppo-^tus que pir un changcm nt q lelconqui, d n s, î{r , ] devienne / ( t J o ) On ^u^a

En particulier, si l'on considère le centre dont les coordonnées soient a, 0, c dans le premier système, n', h', c' dans le second, on aura

La valeur de la fonction /(^, f, s) au centre sera la même dans tous les systèmes de coordonnées. Calculons celte valeur. Rendons l'équation homogène en y supposant implicitement / — i ,non3

Jp. de l'Ai, à la G. 4 '

64^ NOTE XYIJi,

aurons ou

Pour le centre, on a

iy:

--: A.r H-BV-i-B'ï -!

î if;-^W^-f-K'r-i-S^ -^C'^o,

et, par

uite,

/=C^h-CVh-C"2-hD,

C,r + C'j + C'j ^ Cî + D -/= o.

Pour av

oir la valcAir de /, éliminons x, j-, s entre les quatre

î^qwation

(7>ol(

8), nous trouvons

D'après les propriétés des déterminants, on peut Scrire cette équation

(Note pr.), d'où, l'ou déduit /— ■ ■ Le dénominateur à étant un invariant, il en est de même du Hossien. Le théorème général est donc démontré.

Applications. — i" Supposons diabordque, par un oliangemant dans la direction des axes, on ait ramené l'équation à la forme

A^'-i-Ay-i~A";'+ aCi'-i- 2CV+ aC"i-t-D == a. L'équation en S est ici

(A-S)(A'— S){A"~S). Donc A, A', A', coefficients de l'équalion réduite, sont les trois racines do

HOTi! xvin. G4^

l'équalion en S et réqiiatioii prend la forme

S'^' -i- S"/ H- S"'z=-h aCj' -H 2C'j -h aCï 4- D = o.

C'est ce qu'on peut vcrifior par un calcul direct.

a" Équations réduites des surfaces générales. La théorie des invariants permet do trouver les coefficients de l'équation réduite des surfaces du second degré. Soit, en etfet,

l'équation de la surface. Calculons d'abord les invariants K, L, ù,, H. L'équation en S sera

(g) S' — KS'-i-LS-iT=û

et l'on pourra calculer ses trois racines S, S', S", qui demeurent invariables par tout changement des axes rectangulaires.

Cela posé, supposons que la surface ait un centre à distance finie. En prenant pour axes coordonnés les ases principaux de la surface, l'équfition de cette surface prend la forme

AX'-hA'Y= + A"Z'-;-'i = o

et l'on voit, comme précédemment, que A, A', A" doivent être les troî^ racines de l'équation en S. L'équation est donc

(10) SX=-+-SYM-S''Z^ + a^ o.

Pour déterminer a, calculons le Hessien de cette nouvelle équation, qui doit être égal au Uessien de la première. Le Hessien de l'équation (9) est SS'SV. On a donc

SS'S"a ^ îl, d'où

On peut remplacer, d'après réquation(9),leprocluit SS'S^par A. L'cqiir.tion réduite des surfaces à centre unique est donc

(!i) SX'-i-S'YN-S"Z'-i- 7=0.

Quand les trois racines SS'S" sont de même degré, la surface est un ellipsoïde. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit, d'après le théorème de Descartes, que l'équation n'ait que des variations [et alors les trois racines sont positives) ou que des permanences (les trois racines étant

644 '"'OTE xviir.

négatives]. Il faut donc et il suffit que les inégalités L>o, Ki>o

soient toutes deux satisfaites. Autrement on a un hyperboIoïJe à deux nappes. On est ainsi conduit, sans peine, aux résultats indiqués dans le tableau suivant :

H, i différents de zéro, surfaces générales à centre unique :

L<o ou L>oICi<o. Ilyperboloïdo.. , , ^*^ „ ' (a deux nappes H < o.

Prenons maintenant les surfaces générales dépourvues de centre. Oti a vu que leur équation peut être ramenée à la forme simple

Ici A = o, une des racines de l'équation en S, est nulle, les deux autres

sont données par l'équation

([2) S^-KS + L-^o;

A', A" sont encore évidemment les racines de cette équation en S, et l'on

peut écrire l'équation réduite

Le Hessien do l'équation réduite a pour valeur — C'SS' = — C'L. On a donc

-C'L=H, d'où C

Cette formule montre que H et L sont toujours de signes contraires dans :s dépourvues de centre. L'équation réduite est

Cela posé, on est conduit au table<iu suivant ; H différent de zéro, à = o paraboloïdes :

L > o. Paraboloïde elliptique, L < o. 0 hyperbolique,

et alors, H > o.

Il y a une conclusion intéressante à tirer de ce tableau. C'est que.

NOTE xviir. 645

toutes les fois que la surface est réelle, elle est réglée quand H > o et dépourvue de génératrices quand H < o. Quand le Hessicn est positif, la surface est réglée ou imaginaire.

3° Réduction dans le cas des cônes et des cyli/idres.

Dans ce cas, le Hessien est nul, sans que ses mineurs du premier ordre le soient tous.

Pouruncùne ayant son sommet à distance finie i est différent de zéro. L'équation réduite s'obtient en faisant II = o dans l'équatioii (i 1). C'est

On est conduit au tableau suivant :