CHAPITRE PREMIER

I. Du point et do la ligne droite. — § II. Dn cercle. ^ § 111. Des lîaui géométriquas. — § IV. Application des théories précédenlea à la fésolulion de diverses questions et au problème des tangentes.

43. DÉFINITION. — La rinSthode que nous avons développée dans I'iniro- DUGTioN, pour résoudre toute espèce de questions [théorèmes ou problèmes) par le secours de l'Algèbre, n'est, à proprement parler, qu'une méthode indirecte, puisque les moyens employés sont particuliers à chaque question, et varient avec l'énoncé de chacune d'elles.

Il existe une méthode génëraic, appelée Analyse be Descartes, du nom de l'illustre philosophe qui en a donné la première idée; elle consiste à exprimer par des équations la position respective des points et des lignes droites ou courbes faisant partie de la figure d'une question proposée, paisà combiner ces équations de manière à atteindre le bui indiqué par l'énoncé de la question.

A proprement parler, c'est le développement des principes de cette méthode qui constitue la Géométrie analytique telle qu'on l'envisage maintenant.

Elle se divise en deux parties distinctes que nous traiterons successivement ; Géométrie analytique à deux dimensions, et Géométrie analytique à trois dimensions, suivant que les objets que l'on considère sont situés sur un même plan ou d'une manière quclcon(lue dans l'espace.

Jp. de VAt. à la G. 4

5o ÉQUATIONS EU POIM'.

Manière de fixer la position d'un point sur un plan.

a. Pour peu que l'on réfléchisse sur la naturu des problèmes do Gtîûmétrie, on voit que la plupart reviennent, en dernière analyse, à trouver la distante d'un ou de plusieurs points inconnus, à d'autres points ou à des droites ^^es et déjà déterminées de position. Si donc on avait un moyen de fixer analytiquement la position d'un point par rapport à des points ou à des lignes cownwei déposition, on serait en état de résoudre toute espèce de questions géométriques.

Soient deux droites nECTAMouLiiiiES, AX, AY (PI. II, fig. a4), fixes et données de position sur un plan ; et soit M un point quelconque dont il s'agit de déterminer la position sur ce plan.

Si, de ce point, on abaisse les perpendiculaires MP, MQ, il est visible que le point M sera fi^é dte que l'on connaîtra les longueurs des deux côtés contigus ÂP, AQ du rectangle APMQ, puisque ces côtés sont les distances du point ■S' aux deux lignes fixes AX et AY.

Donc, si l'on mène, à ces distances, deux droites PM et QM, respectivement parallèles aux lignes AX et Aï, le point d'intersection de ces deux parallèles sera le point DBiiAmiÉ.

On est convenu de donner le nom d' axés a^ix deux lignes fixes AX et AY.

La distance AP ou QM du- point M à l'axe AY s'appelle fabscisse de ce point, et se désigne algébriquement par x.

La distance AQ ou PM du même point M à l'axe AX est dite Yordonnée de ce point, et s'exprime par y.

Ces deux distances portent conjointement le nom de coordonnées du

Les deux axes se distinguent l'un de l'autre par les dénominations d'axe des abscisses ou des x, donnée à la ligne AX sur laquelle "se comptent ks abscisses, et d'axe des ordonnées ou desy, donnée à la ligne AY sur laquelle se comptent les ordonnées.

Enfin, le point A est ce que l'on appelle Vouigine des coordonnées, parce que c'est à partir de ce point que se comptent ces distances.

iVt. Équations du point. — Le caractère analytique de tout point conàdéré sur l'axe des y e&ï x = o, puisque cette équation exprime que la distance du point à cet axe est niiile.

De même, le caractère de tout point placé sur l'axe des x cs\,y= o.

EQUATIONS DU

Donc le système des deux équalions

caraotérisB V origine A des coordonnées; car p]les n'ont lieu t temps que pour ce point.

En général, les deux équations

considérées simultanément, caractérisent un point situé à une distance a de l'axe des/, et à «ne distance b de l'axe des x.

En effet, la première appartient à tous les points d'une parallèle à AY, menée à une distance AP — n ; la seconde, à tous les points d'une jHiral~ léle h. AX, menée à une distance AQ = b. Donc le système des deux équations appartient au point d'intersection M, et n'appartient qu'à lui. Elles en sont, pour ainsi dire, la représentation analytique.

On 1^ nomme, pour cette raison, les équations du point.

46. Remargiie. — On doit toutefois considérer, dans les expressions a et h, non-seulement les valeurs absolues ou numériques des distances du point aux deux axes, mais encore les signes dont elles peuvent être affectées, eu égard à la position du point dans le pian des aixes AX et AY.

Car, d'après le principe établi (27), si l'on convient de regarder comme posiihes les dislances telles que AP, comptées sur AX et à la droite du point A, on doit regarder comme négatives les distances (elles que AP', comptées à la gauche de ce point. De même, si l'on regarde comme positives les distances AQ comptées au-dessus du point A sur AY, on doit regarder conune négatives les distances comptées ait-dessous de ce même point.

A la vérité, le principe que nous venons de rappeler a été établi pour les distances de points situés de côté et d'autre sur une même droite, par rapport à un point fise; mais il a lieu également pour des distances de points à des droites fixes.

H suffirait, pour s'en convaincre, de prendre une nouvelle origine et de nouveaux axes parallèles aux premiers, et par rapport auxquels tous les points considérés Tussent situés du mêroe côté.

D'après cela, si nous mettons en évidence les signes dont n et i peuvent être affectés, nous aurons les quatre systèmes d'équations

52 EXPRESSION Di; I.A DISIANCE

pour caracténxerXusquati-e positions esseatiellomont difiérentes du point, savoir : M, M', M", M".

On trouvera ainsi :

1° Que le point dont les équations sont {fig. aS)

est situé dans l'angle VAS à une distance AP = i de l'axe des j, cl i une dislance PM = 3 de l'axe des x ; 2° O^iele point exprimé par [fig. 26)

est situé sur l'axe AY[i5) à une distance AM'= 2; 3° Que le point

est situé sur l'axe AS vers la gauche de A, à une distance AM = i.

47. Nous avons supposé jusqu'à présent les axes PEaPENDicuLAinEs ENTRE EUX, parce que c'est la position la plus simple et la plus usitée. Cependant il y a des questions dont la résolution exige qne l'on considère des axes faisant entre eux un angle quelconque.

Dans ce cas, les coordonnées [fig. 27) ne sont plus des perpendiculaires abaissées sur les axes, mais bien des /Mira//èfej à ces axes; c'est-à-dire que les distances AP ou QM, AQ ou PM, se comptent parallèlement aux axes AX, AY.

Du reste, tout ce qui a été dit dans l'hypothèse où les axes sont nECTANGuLAiREs s'applique également au cas où ils sont obliques.

Expression aiialflique de la distance entre deux points donnés sur un plan.

48. Pour trouver cette expression qui est d'un usage continuel, prenons d'abord les axes bectakgulairks.

Soient ^\ /' {Jig. li) les coordonnées d'un premier point M, et x" , j" les coordonnées d'un second point M' ; en sorte que l'on ait

pour les équations respectives do ces points que l'on suppose connus de

Il s'agit d'exprimer la distance MM', que nous appellerons D, on fonction des coordonnées x', y', x" y".

ENTRE DBDK 'fOlNTS DONNES. 30

Pour cela, menons les ordonnées MP, M'P' de ces doux poinls, et tirons M'R parallèle à AX.

Le triangle rectangle MRM' donne

MR -=MP ~'KP=f'-f", M'Ii=:PP'=.c'-.r"; MM*' ou D'=(j'— /')'-h(^'-^")';

Cette formule est générale, et convient même au cas où les deux points sont dans une position contraire par rapport Sx l'un des axes. 11 suffit d'y introduire, pour las applications, les diangements de signe qui correspondent aux changements de position.

Ainsi, par eïemple, pour obtenir la distance de deux points dont l'un, M (fig. ïg), est placé dans l'angle YÂX, et a pour coordonnées

Il et b étant deux nombres positifs, et dont l'autre M' est placé dans l'angle YAX' ot a pour coordonnées

on aura

e donne, dans ce cas, abstraction faite des signes, MM''=MÏ!'+i\fR',

m'r = ap-hap'=«'-h(,;

Si l'un des points donnés, M' par exemple, est l'origine des coordonnées, comme on a alors x" = o, et 7" = o, la formule devient

ce qui est conforme au résultat que donne le triangle rectangle AMP dans lequel on a

Âm'= MP'-I-ÂP'.

54 ÉQUATIOH DE LA. LIGNE LROITE.

49. Lorsque les axes sont obliques, la formule est différente. En effet, le triangle MM'R [fig. 3o) est obtiquaitgle el donne, en vertu d'une formule trigonométrlque connue,

MM'V. mr'-h M^'- aMR X M'R oosMRM'.

Or on a

MR=/'-/", M'R = j^'-a:'; d'ailleurs

cosMRM'^ - cosMRK = - cosfl

(S désignant l'angle MRK, qui n'est autre close que celui des deus axes) ;

D'- (/-/?+(*'- ■^")'+^(r'-j")(^'-^"}cose,

Ce résultat, plus compliqué que le précédent, fait sentir Yavantage de supposer les ases ivECTAPiGiiLiiRES lorsque l'on doit faireentrer dans les calculs la distance entre deux points donnés, et que le choix des axes est arbitraire.

Manière de fixer analytiquenwM la position d'une droite sur un plan.

80. Soit «ne droite LBL' (fig. 3i et 3a) indéfinie et située à volonl^ dans un plan. Prenons dans ce plan deux axes rectangulaires ou obliques, AX, AY, par rapport auxquels la droite soit placée d'une manière quelconque.

Menons d'ailleurs de différents points M, M', M",..., pris sur cette droite, les ordonnées MF, M'P', M'P",. .., et par le point B où la droite rencontre l'axe des x, tirons BH parallèle à AX.

Les triangles semblables BQM, BQ'M', DQ°M°, ..., donnent la suite de rapports égaux

MQ WQ^ M"Q"

BQ ~ "BQ' ~ BQ" ' ■ " '