PRÉFACE

yluAND les premiers mathématiciens, après avoir atteint les bornes de la géométrie élémentaire , ont voulu s'élever jusqu'aux problèmes de la géométrie transcendante , quand après avoir épuisé tout ce qui a rapport à la ligne droite et au cercle , ils ont passé à la considération des courbes de différens genres , ils ont eu besoin , pour avancer dans cette carrière , d une force d'attention extraordinaire , et leurs progrès ultérieurs ont fait preuve , et de leur esprit inventif, et des ressources de leur génie»

Mais lorsque l'algèbre eut pris naissance , lorsqu'on eut enfin conçu l'idée heureuse de l'appliquer à la géométrie, lorsque Fiète et surtout Descartes y ces deux hommes à jamais célèbres , eurent frayé cette route nouvelle, lorsqu'on vit le calcul, au moyen de quelques formules, mettre en évidence la nature et les propriétés de toutes les courbes , alors les questions résolues par les anciens avec tant de peine et de travail , ne fm-ept plus qu'un jeu pour les modernes ; alors la science fît des pas si rapides qu'on ne peut se lasser d'admirer la fécondité de cette grande et belle invention.

Comment serait - il possible de préférer encore la marche des anciens à celle des modernes ? Ce qui a été démontré d'après leurs procédés porte peu£-être avec soi un plus grand caractère d'évidence, mais en revanche chaque vérité se trouve aloi's isolée en quelque sorte , séparée de toutes celles qui ont quelque rapport avec elle. L'analyse algébrique a non-seule^ ment plus de puissance et d'énergie que la synthèse , mais elle a encore plus d'étendue et plus d'ensemble ; c'est le coup - d'œil du génie , qui rassemble, qui généralise, qui voit les rapports des choses entr'elleà, qui en fait un tout , et se l'approprie. Aussi , faut-il l'avouer , quand on est familiarisé avec elle, il çst besoin de courage et de patience pour se résigner

il PRÉFACE.

à suivre les aiidens dans tous les pas qu^ils ont voulu faire au delà des pre* miei's élémens. C'est moins pour connaître les résultats de leurs travaux qu'il faut les étudier , que pour observer leur mai^che et apprécier leurs eflforts»

« Le rapprochement de la géométrie et de l'algèbre , dit M^ La Place d^ns le Journal des £coles normales y répand un nouveau jour sur ces deux sciences; les opérations întetlectueTles de l'analyse , rendues sensibles pair les images de la géométrie, sont plus faciles à saisir plus intéressantes à suivre. Cette correspondance fait Tun des plus grands charmes attachés aux spéculations mathématiqujes ; et quand Tobservation réalise ces images, et transforme tes résultats mathématique^ en lois de la nature ; quand ces lois y en embrassant Tunivers^ dévoilent à nos jreux ses états passés et à venir;, alors la vue die ce sublime spectacle nous fait éprouver le (dus noble des. plaisirs réservés à la nature humaine **..

Cependant y malgré les travaux des Descaries , des Newton , des EuTer ,', des Cramer , et de plusieurs autres grands géomètres , les ouvrages élémentaires du XVIII^ siècle y sont restés , pour la plupart , vraiment -au*-

dessous du progrès des lumières :. quoique leurs démonstrations reposas-

,> ♦• sent sur l'algèbre , elles étaient toujours plus ou moins bornées au cas part

ticulier que Ton avait sous les yeux ; et la marche des modernes perdait

^nsi son plus précieux avantage^

Enfin IVT*. Lagrangcy LaplacCy MongCy et queliques autres mathéma?ticiens du premier rang , appelés dans la châtre des professeurs , par le pro^ grès dès idées libérales y ont produit dans ce genre là révolution, la plus. nécessaire et la plus heureuse^

J'aurais donc pu sans doute adopter pour mes cours quelqu'un dés ou^ vrages qui ont paru dès lors sur l'application de l'algèbre à la géométrie. ; mais il n'aurait point été calculé sur la portée et sur les besoins des étudians de notre académie ; il n'aurait surtout pa* été en rapport avec les divers ouvrages élémentaires que j'ai déjà publiés, et qui sont depuis long-tema tntre les mains de ces jeunes élèves. Ainsi je me suis vu foi^cé de travailler

P R i^ F A c E. iij

«ur UQ plan neuf, et qui m'a paru d'ailleurs offlrir quelques avantages assez marqués. On en pourra prendre une première idée en jetant un coup-d'œii ^ sur la table des chapitres » à laquelle on me permettra de renvoyer.

Je me bornerai donc à faire observer que j'ai considéré les sections coniques, toutes à la fois, que je les ai décrites par un procédé unique et trèsaimple y pai* lequel outre la parabole , l'ellipse , et l'hjperbole ^on peut encore obtenir le cercle , le point , une ligne droite seule , et deux droites qui se croisent. L'équation que l'on déduit de ce procédé comprend aussi toutes ces choses. De cette équation résultent donc entre autres les propriétés des sections coniques et celles du cercle ; lesquelles ainsi rapprochées et comparées , mettent en évidence les rapports que les quatre courbes ont entr'eiles.

Par tout d'ailleurs j'ai îait ensorte de donner des formules plus générale^ que les formules communément usitées.

J'espère qu'on voudra bien remarquer aussi la marche neuve des deux trigo« nométries. Je n'avsds point pensé d'abord à m'occuper de la trigonométrie sphérique, parce que je ne voulais considérer que deux dimensions de l'étendue ; jeme siûs enfin décidé à la placer à la fin de l'ouvrage sous la forme d'un supplément. Je l'ai du reste traitée d'une manière purement algébrique ; et j'ai beaucoup profité du mémoire de Lagrange inséré dans le Journal de l'école polytechnique.

£n général Jai mis quelque soin à discuter les formules , pour en faire ressortir tous les cas particuliers. Cette opération , qui est une véritable analyse logique , est sans doute ce qu'il y a de plus intéressant dans l'application de l'algèbre à la géométrie ; elle conunence où cesse le mécanisme du calcul i elle apprend à interpréter , à lire l'algèbre , à en extraire pour ainsi dire toutes les vérités qu elle renferme ; et elle fait disparaître jusqu'à l'apparence de sécheresse et d'aridité que Ton croit si communément accompagner cette science.

Je désire bien sincèrement que cet ouvrage , tel qu*il est , puisse remplir Tattente des jeunes gens auxquels il est plus particulièrement destiné; et j'ose l'espérer un peu , puisque déjà il a obtenu l'appui d'un gouvernement éclairé , qui attacha constamment beaucoup de prix aux progrès de Fins^ truction publique ^ et qui, dans ses soins toujours renaissans , ne voit jamais que le plus grand avantage du peuplée heurew qui lui a confié s^çs intéc^ts» Içs plus cher§..