CHAPITRE PREMIER

Questions géométriques , résolues en nombres par V algèbre.

N. B. JIl serait difficile de donner ici des règles générales ; il faut s'exercer sur des exemples particuliers: leur choix est plus ou moins arbitraire, et l'ordre à suivre assez indifférent.

6. Trouver la distance qu'il y a dun point B où Von se trouve^ Jig. ^^ jusqu'à un point G , qui est inaccessible; et cela sans le secours des angles et sans les formules de la trigonométrie.

Prenons une base que nous puissions mesurer (*)", et supposons fait le triangle BGD ; pour en avoir un semblable à celui-là , nous imaginerons une parallèle EF à la base BD , menée par un point E accessible et pris sur le côté DG ; nous aurons , en nommant x la distance BG , et désignant les côtés connus par de petites lettres semblables aux grandes lettres des angles opposés ; nous aurons , dis-je :

EF : g :: GF : x; alors pour trouver la valeur de EF^ au moyen de deux autres triangles f dont elle soit un des côtés , nous prendrons ^é dans Talignement de BD ^ f t C dans les alignemens de BG et de j^E , ces points AtiC étant accessibles ,

O Je suppose qu*on connaît Tusagc des jalons et de la chaîne d! arpenteur ; 3i .cela n'était pas^ on lirait, avant d'aller plus loin, le q\ 69 ^ où ees instrumens sont décrits à roccasion de la trigonométrie*

Q^uant aux alignemens , ils sont très-Faciles à prendre , au moyen de jalons plantés de manière à se recouvrir ou à se cacher les uns les autres.

4\ QDEST10N& ùtOMÈrniQVESf

et nous mesurerons ^B ou c , jiC ou 6 , £C ou/", et i?C ou a ; nous an*

rons alors, à cause des triangles semblables CEF, CAB:

b :c:i/iEFy

cf ce qui doime EF = -r- ; ensorte que la i»:emière proportion devient :

Mais il est facile de voir par la figure , que GF = or — FB , ou • » • •. • :tr + CF — CB^ ou x-^CF — a; on a donc:

Msdntenant il n'y a plus qu*à trouver Texpression de CF, ce que Ton peut

faire au moyen des triangles CEF^ CAB qui donnent :

h i a II f i Cfi

af ensorte que CF = -^ , valeur qu'on peut mettre à la place de CF dans ta

proportion générale ; qui devient enfin :

--- : gr :: ar+-r aix.

Multipliant les extrêmes et les moyens^ on obtient cette équation :

cfx , «/^

d'où Pon tire :

Toutes la ligne» ayb^c,fyg,o^ BC, uiC, AB , EC^ BD^ ayant aé mesurées , et se trouvant connues , on calculera facilement la valeur de x ou de BQ,

7. £n général, dans tous les {Hroblèmes de ce chaptre, on supposera que les lignes connues ont été évaluées numériquement , au moyen d'une certaine unité de longueur , et qu'il s'agit de trouver combien il y a de ces unité» dans les inconnues que Ton cherche.

Lorsque Téquation à résoudre sera du second degré , si elle donne pour la seconde valeur de l'inconnue une quantité toute en moins , on ne s'arrêtera

pas à discuter ces sortes de valeurs ^ sur Iesquell«s nous reviendrons plus tard

nisOhVtS PAR L'AI.GiBR«r 5

8. Etant donné le rayon étun cercle , trouver là valeur du cétédu triangle équUatéral inscrit. ( Géom. Append. Probl. XXIV. Sch, I. ).

On connaît CA , fig. 2 , et on roudrait trouver AB ; quantités que noua désignerons par r et par x.

Puisque AH côté de l'hexagone est égal à AC ^ le triangle ACH est îsoscèle et CGz=:l CIit=: | r. Mais AG = y'cS* — ?§*, ou , ce qui rerient ai|

même ; ___

|rr = yr* — {r*; d'où l'on tire: a:=:\/3/'*=r>v/3.

9. Il est facile de voir que si l'on cherchait le côté du carré inscrit , on aurait :p*=:r*+r*, d'où Ton tirerait: a?=:rv/2. (Géom. Append, ProbU XXV. Sehol. ).

10. Etant donné le rayon d^un cercle^ trouver la valeur du côté du décagone régulier inscrit. ( Géom. App. Probl. XXVI. ).

Pour trouver gépmétriquement le côté du décagone , il faut diviser le rayon en moyenne et extrême raison, cette moyenne est le côté cherché. Eil la désignant donc par x et le rayon par r , on a :

r : X II X i r — x; d'où Tonltire : a?*=:r* — rx; et cette équation, pour ne parler que de la valem- en plus de âp (û^ 7)^

donne :

x^=^lr+^/ j^+{rl; ce que Ton peut écrire ainsi :

11. Etant donné le côté d'un polygone régulier Inscrit y trouver le çâti dun polygone semblable circonscrit. (Géom. App. Probl. , XX VIL).

On connaît AB^ fig. 2, et on demande EF; quantités que nous désigne-' rons par a et par x.

Dans le triangle isoscèle ABC , on a les angles et la base y on peut dona déterminer le rayon AC^ que nous appellerons r. D'ailleurs les tri^ngle^ CAO^ CEH^ donnent la proportion :

CG : AG :: CH\ EH; CjU , ce qui revient au mê me;

-^, A .. 2ar

12. Dans le cas du carré, Tangle -^C-ff.est droit, ce qui doime a»^=2r* et par conséquent 4i^=^2af^; ensorte que le dénonmwtettr de la fonaolf

devient \/2a*— a*=:a; d'où a7:=:2£:=2r, C'eat-à-dîrc que le câtéâu carré circonscrit égale le diamètre,

13. Dans le cas du triangle, on a a = r\i/S (n®. 8) ; enaorte que la formule générale devient alors :

C'est-à-dire que le côté du triangle équilatércU circonscrit est double du edté du triangle équilateral inscrit.

14« Maintenant, avant d'aborderun problème intéressant, que nous devons résoudre , nous allons démontrer , comme un lemme préparatoire , le théorème suivant :

Supposons un quadrilatère ABDE^ inscrit dans un (Jercle, fig. 3^, avec ses deux diagonales AD , BE ; si Ton mène DG de manière à faire l'angle BDG:=iADE , les deux triangles BDG , A DE y ayant , outre ces angles que Ton vient de faire égaux, l'angle DBG ou DBE égal à DAEy seront semblables et donneront :

AD : AE :: BD : BG ; '^d'où Ton tirera :