CHAPITRE PREMIER

Des sections coniques considérées dans le cane et dans lé cylindre i,

287. Oorr ADBE^ fig. 94, un cercle, et -y un point pris hors du plan& de ce cercle; si U droite indéfinie SA tourne sur le point fixe «S", en glis-^ sant tout autour de la circonférence ADBE^ elle engendrera dan* ce mou*^ vement deux cônes droits, ou obliques ^ opposés par le sommet ^S"..

Si Von coupe ces c6nes par un plan, qui. passe par le sommet *S, et quî^ entre vraiment dans les deux cônes , il est évident que les figures- des sec-^ tiona seront terminées chacune par trois droites ,. dont deux , comme SD et; SE y seront tracées sur la surface convexe du solide, car elles représentent deux, positions de la génératrice SA ; et dont la troisième, comme i>-£, net sera autre chose que l'intersection du plan coupant avec celui de la base.. Ceè figures seront donc des triangles ; et si ces triangles passent par Taxe: se y on les appellera triangles par Taxe.,

Si on coupe un des cônes par un plan piffalfèle à la base ,. comme adhcy, pour savoir si la figure de là. section n'est pas un cercle , nous chercherons^ le rapport dea lignes qui la traversent Pour cela nous mènerons Taxe du», cône se y et par cet axe deux plans qui s'entrecoupent sous un ^ngle quek conque , comme SABy SDE ; leurs intersections avec ADBE , adbe ,. seront, parallèles, comme Ab^ aby VJSy de y (Géom. Liv. VI. Th. VIII}; et l^eft triangles semblables SAC, Sac y, et SDCySdc y donneront :

AC : ac : : SC : Scy J>C :. de :: SC ; Sç;,

d'où Ton threra, :

AC : I>L ;:: ac : de;

mai^ -/^C = Z>C, donc ac =;; de.

224 8KCTION8 CONIQUES

En répétant cette construction , on verra que tous les points de là courbe cuibt , sont à une même distance du point c , où Taxe du c6ne rencontre le plan de cette courbe ; ce qui démontre que toute section parallèle à la base est un cercle dont le centre est sur l'axe du cône.

288. Cela posé , cherchons l'équation de la courbe MAm , fig. 95, 96 , 97' qui résulte de llntersection d'un cône par un plan placé d'ime manière quelconque. Déterminons , par des intersections avec d'autres plans , certaines droites dans cette figure , qui se rencontrent les unes les autres , et qui soient dans une position relative aussi avantageuse que possible pour devenir coordonnées de la courbe.

Supposons d'abord que la droite FG soit l'Intersection du plan coupant avec celui de la base [cai' si nous prenions ces plans parallèles nous n'aurions qu'un cas très-particulier, et que nous avons déjà examiné (h^ 287).] Menons ensuite un plan parallèle à la base , et qui rencontre le plan coupant ; leur intersection étant Mm , cette droite sera parallèle à FG ( Géom. Liv. VI. Th. VIII ). Faisons encore passer par Taxe du cône un plan A* , il rencontrera décidément le cercle de la base et le cercle parallèle a la base , ^t les intersections >>, -^'J?', seront des diamètres parallèles èntr'eux (voyez n*. 287). Alors si ce plan par l'axe ne rencontrait pas le plan coupant dans l'intérieur du cône , on le ferait tourner sur Taxe , comme sur une charnière , jusqu'à ce qu'il le rencontrât. On continuerfdt même ce mouvement jusqu'à ce que le diamètre y> fût perpendiculaire à ^G , et l'on aurait par conséquent aussi ^ '£ ' perpendiculaire à Mm.

En prenant donc AP et A'P pour abscisses des courbes MAm^ MA'm\ la droite MP sera une ordonnée commune à ces courbes; d'ailleurs cette ordonnée sera perpendiculaire k A'P ^ mais ne le sera pas dans tous les cas à AP. Désignons AP par x , MP par y , et cherchons une équation entre x^tfy et les constantes relatives à la question actuelle. Ces constantes sont d'abord les angles ^, y, >; ensuite l'angle iAP^ que nous nommerons «, et qui détermine l'inclinaison de la section ; et enfin la distance M <i\ikk laquelle passe le plan coupant relativement au sommet. Or le cercle MA* m. donne:

y^=:AT^B'P .... (1); cherchons donc ce que valent A 'P et B'P (^).

- -— - (*) Four bien comprendre ce qui suit, U faudra se soureim*, qu'en désignant

l^ Le

DANS LE eÔNir kt LE CTLINRE. ^5

^^ Le triangle APA' donne dn A' : x w sin • i A*P^ ou

imy \ X \: sin » : -^'P? donc

X sin *

sm r

valeur qui varie avec x , conune cela doit être , parce que le çUn du cer* de MA' m «^abaisse plu$ ou moins»

2^ Poui- trouver B'P^ menons, dans le plan M^ AS parallèle à A'B\ et à y>, et PL parallèle à ^, nous aurons ; '

B'P — LH^ AH^i AL.

N. B^ Le moins est pour la fig. 96 , le plus pour la fîg. P7 , et quant à la fig. 96 , «eomme on suppose que PA était déjà parallèle à /ô, PL se confond avec PA^ le point L avec le point A^ et la ligne AL est nulle. Il en résuke donc que l'angle APL est zifro dans cette figure , ainsi que son «inus.

Maintenant , le triangle AHd donne sini : k :: sin ^ : Affy d'où l'on

lue :

sini

Le tiùangle ALP donne sin L ; x :\ sin P : ALi or sin Lj::^ sinl; voyons ce que vaut sin P. Dans la fig. 9ô il est nul; dans les autres figures^ si l'on mène encore A£ parallèle à LP , on a i4P£ = PAE , et PAE est précisément ce qu'il faut ajouter à a + fl , fig. 96 , ou ce qu'il en faut retrancher , fig. 97 , pour avoir deux droits. D'ailleurs le supplément en plus d\in angle plus petit que deux droits a lé même sinus que lui ; et le sup* plément en moins d un angle plus grand que deux droits ^ a aussi le même sinus que lui ; sauf que le sinus de l'angle plus grand que deujt droits a le signe moins. Ainsi donc , dans les deux cas , sin APL = sin ( • + i8 ) j et nous avons généralement ^in > ; a? :: wn (« + 6) : AL; d'où l'on tire :

un angle par une lettre, ce sera taiitôt l'un tantôt l'autre des angles de suite qui ont leur sommet marqué par cette lettre ; car 1§| angleè qm sont de suite <IU supplémens Tun de l'autre ont le même sinus. Ce sera quelquefois aussi un angle ^gal à celui que nous indiquerons , ou â son supplément.

Ff

!^2(^ .ftICTZOKS CONZi^VXft

off sin (*•+•«)