ANS %Z CÔNE ET L1Î GTLINDR

totct (n^ 269), a:y = !§(*; car si l'on y fait gr = o> ona a/^=o; ce qui est la combinaison de l'équation a?' = o , qui est celle d'une des s»ymp-^ totes , avec l'équation y' s= o > qui est ceHe de l'autre asymptote.

Sur quoi il . faut observer que cette équation est bien différente de celle du point ; car dans le point on n'a qu'une valeur pour a? et pour y , savoir zéro; tandis qu'id quand a?' =3 o, j/ peut avoir tontes les valeurs imaginables , et réciproquement. Ici les équations oef zszOy y' i=zOy sont deux équationa qui peuvent exister séparément y et que Ton a réunies par la multiplication ; tandis que pour le point elles doivent coexister , sans cepen*dant être multipliées entr'elles. Dans l'équation y* = -.— a?* , dès que l'on fait a: =: o , on a ^ = o , et on ne peut faire aucune autre supposition qui satisftjBse à Féquation \ au lieu que dans xy = o on peut sans doute faire une des lettres égale à zéro y mais alors lautre est quelconque ; ou réciproquement, on peut donner toutes les vadeurs à une des lettres , et alors l'autre est toujours zéro*.

295. On petA aussi faire arriver le plan coupant an sommet sans réduire

k à zéro. Représentons-nous que ce plan passe en A^ et qu'il toume snr

ce point, en partant de la position propre à la parabole, fig. 95^ si » di^

xninûe, la ligne AF ix^ k l'instant^ dans son prolongement, rencontrer le

côté indéfini BH^ et l'on aura une ellipse , fig. 96. £n fermant t-oujours pluA

^ , sin (« + 18) augmentera, et AB diminuera, comme le prouvfe la va;^

leur de 2<i du n**, 290, et cela jusqu'à ce que a + i« = i droite ou jusqu'à

ce que l'angle ABB ss 1 droU^ Dans l'intervalle la section elliptique anira prift

deux fois la forme circulfdre , si du moins le cône est oblique , ou une foia

seulement s'il 'est droit (n^ 291); et elle sera encore redevenue ellipse^

£^e mouvement continuant , sin^tt,'^ B) diminuera , et AB recommeneeri^

à augmenter, jusqu'àce qiife « =2 a, et que sin (» ^ B)z=sin B; aJbr^ o«|

aura 2d=:k; et parce que m » == o, la formule (2) domiera f/f =fpL^^

équation du côté Ak.

Si-^ » , fig. 9â y au lieu de diminuer augmente y la parabole deviendra l^ perbole , fig. 97 , et la ligne AB prendra une longueur finie» £n mèmie teins <» -+• ^ déjà plus grand que z droits , augmentant encore > sin (» + B)i augmentera, et ^liS ou 2d diminuera. Quand « seul vaudra 2 droits ^ oq atira sm ( » •+• B)=ssin ( 200 + By=zsinB; d'où résultera AB ou 2dssi fc, JEi parce que sin «^ = o, l'équation (2) donnera encore y == o.

Si Fangle is est obtus » quand • sera devenu égcd à 2 droits y on aura . «

253i SECTIONS CONIQUES

C * + * ) > 3 droits. Dans ce même cas le sinus de « + /8 n'augmente , et A<B ne diminue , que jusqu'à ce qu'on ait « -f- /s = 3 droits^ Alors AB est perpendiculaire 8ur/8>, et plus petite que k^ qui est oblique. Depuis ce terme AB augmente et devient enfin égale à A ( voyez la fig. 100 ).

Du reste le plan coupant , s'étant couché dans les deux cas précédens le long du côté Qy y a repris alors la position propre à la parabole , qui est le parallélisme à l'un des côtés ; il est donc tout simple que nous ayons re« trouvé le premier résultat du n\ 292. Là nous avions l'équation du côté 0i^ ici nous avons celle du côté By; mais c'est toujours l'équation d'une droite, et un cas particulier de la parabole.

296t Nous avons parlé dans tout ce chapitre du cône à base circulaire! et nous Tavons supposé quelconque ^ c'est-à-dire droit ou oblique. H est évident qu'on pourrait se représenter aussi un cône droit ou oblique à base elliptique; mais alors on devrait le considérer comme n'étant autre chose que la partie supérieure d'un cône à base circulaire , que Ton aurait coupé par un plan donnant une ellipse i ensôrte qu'on retrouverait aussi dans, ce cône les sections que nous venons d'examiner , et qu'il n'en pourrait point fournir d'autres.

297. Pour terminer tout ce qui a rapport à cette matière , nous allons en* core dire un mot des sections du cylindre.

Par les deux extrémités du diamètre yi d'un cercle , fig. 101 , menons , hors du plan de ce cercle » deux droites indéfinies et parallèles yB^ h ; fai* 8ons ensuite glisser le cercle le long de ces lignes ^ toujours parallèlement à lui-même , et de manière que les extrémités y^ i^ de son diamètre restent constamment sur les droites yB^ fa ; ce cercle engendrera dans ce mouvement un solide nommé cylindre. Ce cylindre sera droit si les lignes yB , k ^ont^ perpendiculaires sur le cercle de la base ; il sera oblique , si ces lignes sùM obliques.

Dans tous les cas , si dans ce cylindre à bases circulaires , on fût des sections planes parallèles à la base, ces sections seront des cercles égaux à celui de la base , et les centres de tous ces cercles se trouveront sur une même droite CD ^ placée dans le plan du parallélogramme Bi à égales distances des côtés By^ h^ auxquels elle sera parallèle. Tout cela résulte évidemment de ce que nous venons de dire ; et cette droite CI) s'appelle Taxe du cylindre.

U n'est pas moins évident quQ si Ton fiût passer par Taxe un plan cou^

pant I

DANS LE c6N£ ET LE CTLINDRE. 233

* pant , il déterminera sur la surface ronde du c/lindre deux droites paral- ■■ lèles , placées de part et d'auti^ de Taxe , à une distance par tout égale au i' rayon r du cercle générateur. Et si Ton suppose le cylindre terminé par

deux cercles parallèles , la. figure entière de la section actuelle sera un parallélogramme , que nous pourrons appeler parallélogramme par faxe^ 29*. Cela posé cherchons 1 équation de la section MAm , fig. 102 , dont

* nous supposons que l'intersection avec le plan de la base soit FG.

^ Menons le plan circulaire MA'm parallèle à la base , et qui rencontre le

plan coupant. Leur intersection commune sera la ligne Mm , qui sera parai-

lèle à FG.

Conduisons ensuite un plan par Taxe , et faisons-le tourner sur cette lignet

t Jusqu'à ce que la droite yi^ qui est son intersection avec la base, rencontre

L à angles droits FG; il est clair que A^B% intersection du plan par Taxe

i avec le cercle MA'm.^ et parallèle à >*, sera aussi perpendiculaire à MPj

f qui est parallèle à FG. Mais AP ne sera pas dans tous les cas perpendi-

I culaire à MF.

Nommons AP^ x , MPy y, le rayon du cercle générateur r, et observons que sin = sin y = sin i =:sin « ; nous aurons par la propriété du i cercle:

y* = A'PXB'P .... iA).

D'ailleurs le triangle APA' donne sinA'txy.sin^^i A'P^ *

ou sm ^ : X :: sin « : A'P ; donc:

^/p^ X sîh »

sin $

^^ant à JS'P, cette ligne vaut 2r — «iiT; c'est-à-dire qu'on a:

«/n 2r sin --^ x sin m jjf if ss . — ^ •

sm 6 Substituant ces valeurs dans la formule (^4) ^ on trouve :

^ Sin $ sm" S

•c^quation que Ton voit tout de suite appartenir à l!enip8e«

Si Tony fait j/ =: o, on a a? = o pour le point il^ et a? ou • « • « « « « •

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