AD

De ces deux équation^ , il résulte , en les ajoutant :

BG + GE ou SE 3=3 -^ /

et en multipliant par AD :

BEy<,AD=zAEXBJ> + AB'X^DE.

C'«at4-diffe {-^ dam tout quetdrUatère inscrit , le réctangU des cUagoi»

RÈêOhVJLB PAB L*Al<;àBBiB. f

haies est égal à la somme des deux rectangles que Ton peut former avec les côtés opposés.

16. Cela posé, on demande de trouver une équation qui exprime le rap^ port qu'il y a entre les trois côtés dun triangle inscrit dans tm cercle et le rayon de ce cercle; ensorte qu'une de ces quantités étant inconnue y on puisse la tiouver au moyen des autres.

Scit j^BD , ûg^À^ le triangle en question y on demande le rapport qu'il y a entre a, bj detle rayon r.

Four rattacher cette question au lemme précédent , et pour que ie r^yoa fasse en même tems partie de la figure , je mène du point £ le diamètra JBEy et je joins ^E et DE; alors j ai, par le n*. 14:

2rb=zjiEXa^DExd.

Mais, puisque les triangles BjéE^ BDE^ sont dans ce cas rectangles ei} jf et en jD , on a :

AE = y/ 4 r^—d" DE — ^/TFHa^;

quantités que nous ne prendrons qu'avec le signe plus, d'après ce que nout avons dit au n^ 7 , et qui ne seront d'ailleurs jamais imaginaires , puisqu'une corde comme d ou a n'est jamais plus grande que le diamètre 2r. Mettant ces valeurs, dans l'équation précédente, à la place de AE et de DE^ ellii

devient :

2rh =a \/ Ar-—d^ -^^ d ^/ Àr^'^a^ . ..(Al). *

C'est la formule demandée , que nous allons appliquer à quelques cas par* tipuliers,

i 6. r. Etcmt donnée la corde BD ou a dun arc , trouver la corde AB ou b du double de cet arc.

Comme une corde répond toujours à deux arcs , qui en général sont inégaux , nous supposerons , dans ce problème et les suivans , que chaque cord« est rapportée au plus petit des deux arcs qu'elle soustend ; car quand on connaîtra un de ces arcs, on connaîtra aussi l'autre, puisqu'ils composent cntr'eux la circonférence entière* D'aiUeurs cela simplifiera les résultats , et évitera l'emploi du double signe au-devant des radicaux.

Dans la question actuelle , on suppose les arcs AlB et BD égaux, et par conséquent leurs cordes ^ et a sont égales ; déplus &, qui est rioconnuei se représente par x ; ensorte que la ionnule ÇA) devient ;

QUESTIONS OéOMÉTBISVEi;

2rx œ 2a V4r* — a* >

d'où Ton tire :

Si l*on avoît a = 2r , on trouveroit . • . . a? = o ; et en effet quand a ss 2r l'arc devient la demi-circonférence ; or la corde de la circonférence entière est certainement nulle.

En faisant a < 2r, si r = \/4r* — a*, on a a; =r a; c'est-à-dire que la;

corde de Tare double est égale à la corde de l'arc simple. Mais de r=v/4r* — a* , on tire &cilement a == rv^3 , ce qui est la corde du tiers de la circonférence (n^. 8) ; donc les cordes du tiers et des deux tiers de la circonférence sont égales ; ce qui est du reste évident. Il faut remarquer que quand deux arcs composent la circonférence entière, leurs cordes sont toiijours égales; mais ee n'est que dans ce cas-ci que le second arc est double du premier. Si r< \/4r* — a* , on aura a: > a ; ensorte que la seconde corde sera plu»

grande que la première. Or de r < \/-4r*— a* , on tire a < r\/3 ; c'est-àdire que quand la corde donnée appartient à un arc moindre que le tiers de la circonférenc e , celle d e l'arc double est plus grande.

Enfin si r >\/4Ï^— a*, on aa:<a; et dans ce cas a>rv/3; de manière que si la corde donnée appartient à un arc plus grand que le tiers de la circonférence , celle de l'arc double est plus petite.

17. 2^. Etant donnée la corde AD ou b dun arc^ trouver la corde AB mi d de la moUii de cet arc.

. On suppose encore les arcs AB et BD égaux , de même que leurs cordes d et a, et l'on demande la longueur de ces cordes. Il faut donc mettre, dan» \fk formule (^) , la lettre a? à la place d es lettres d et a; die devient ainsi :

2rb = 2x\/Àr^—x^; divisant par 2 , élevant au carré , et transposant , on aura une équation du quatrième degré en x , que l'on pourra résoudre comme une équation du aecond degré , et qui donnera (Algèbre d'Emile , n^. 5 1 7) :

X = y/2r'—\/4f^--r^b^ . . . (B) OU par le n^ 619 du même ouvrage:

x^\/i^+lrb^\/r^—'lrb...(Q.

Quant aux signes que nous avons mis ici, voyez les obseivations de» n^. 15 et 16. Il est du reste facile de voir par (C) qub x sera toujours en plu».

Si

AidOLUES PAR L'AtcàBRX. 9

Si Ton avait, par exemple, b^=2r^ l'arc de cette corde ne serait autre chose que la demi-circonférence , et Ton trouverait, par (-ff) ou par (C), ;»=3=:r\/2 pour la corde du quart de cercle (n^ 9).

Si l'on avait ô = r\/3, Tare de cette corde serait le tiers de la circonférence, et Ton trouverait très-vîte, par (^), a? = r pour la corde de la sixième partie de la circonférence , ou du côté de Thexagone régulier inscrit. On aurait le même résultat par ( C) combiné avec la règle du n°. 519 de l'Algèbre.

18. 3f. Etant données les cordes AB^ BD^ ou à et 9k de deux arcs^ trouver la corde AD ou b dun arc égal à leur somme. • Il suffit de mettre dans la formule iA) x k\à place de b et Ton a:

2rx = a y/Àr^ — d* + d \/4r* — a* ; d'où l'on tire : .___

Si on avait, par exemple, d=:r\/3 et a=r, les deux arcs proposés seraient le tiers et la sixième partie de la circonférence , et l'on trouverait x=^2r pour la corde de J + J == |.

Si on avait d^=^az=:zr v^3 , chacun des arcs vaudrait le tiers de la circonférence , et Ion trouverait x^sr \/3 pour la corde de |. On obtiendrait le même résultat par le n®. 16.

19< 4^. Etant données les cordes AD^ AB^ ou \> et ai de deux arcs^ trouver la corde BD ou a d^un arc égal à leur différence.

Il faut mettre x k\^ place de a dans la formule C^) et l'on obtient :

transposant le premier radical, élevant au carré les deux membres, réduisant , divisant par Ar^ et ordonnant , on a une équation du second degré en X , laquelle étant résolue donne ;

Voyez, pour les signes, les observations des n?- 15 et 16.

Nos deux arcs n'étant jamais plus grands que la demi - circonférence (n^ 16), la plus grande des deux cordes données répondra au plus grand des deux ai'cs dont on doit considérer la différence ; soit donc en ^néral b > dy on aura visiblement le premier terme de la valeur de x plus grand que le second, et x sera en plus.

Si , par exemple , 6 = 2r et d^sr^ les ai*cs proposés seront la moitié

tO S9KSTI0N& GÉOMiTBXQUIiy

et la V sixième partie de la circoiiférence , et l'on aura xssry^d pour la corde de l — S = |-

Si b=z2r tt d=r \/3 , les arcs pr<^osés seront la .moitié et le tiers de la circonférence , et Ton aura a; = r pom* la corde de | — | =^ |*

Si b:=r\/Si et d^=sr^ les arcs seront le tiers et la sixième partie de la drconférence , et l'on aura x=r pour la corde de | — | = §•

20. 6\ Etant donnés les irais côtés a , b , d , dun triangle quelconque , trouver le rayon BC ou r du cercle circonscrit à ce triangle.

Il Êtut mettre or à la place de r dans la formule (^) et l'on a:

2bx = a \/Âx^ — ^ + d ^âx^ — a» ; transposant le premier radical , élerant au carré , réduisant , divisant par Âx , et transposant de nouveau , on trouve :

d'où Ton tire facilement, en transposant, réduisant et extrayant la racinç ;

ahd

wmm

Observons que le numérateur de cette formule est une fonction symétrique des trois côtés, ce qui ne semble pas avoir lieu dans le dénominateur, puisque le côté d manque dans le premier terme sous le radical , et qu'il est pris en moins dans le second. Cependant on ne voit pas comment un des côtés peut jouer dans la formule un rôle différent des deux autres. Et en efiet, si \on carre immédiatement la première équation, en laissant les deux radicaux dans le second membre , on aj:rivera , par un calcul un peu plus compliqué ^ à ce résultat :

ùbd

tt si Ton commençait par transporter le second radical dans le premier membre , pour faire ensuite le carré des deux membres , on trouverait , après les réductions :

abd

Ensorte qu'on peut se servir indifféremment de Tune ou de Tautre de ces formules , qui conduiront toujours au même résultat»

1lifOI.VBS PAU |<*AtG|BBe. i\

21. Si le triwgte est rectangle en B^ on a i* sas a» + 4i*; mettant cette valeur à la place de ô* dans le dénominat eur d e Tune de ces formules , de la seconde par exemple , il se réduit à ^Àa^d^ ou à 2ad ; ensorte que la formule elle-même donne , pour ce cas, a?==|6; c'est-à-dire que le rayon est alors la moitié de la corde AD. En effet , quand l'angle B inscrit est droit , j4D devient diamètre et passe par le centre , ce qui fait que le rayon est bien la moitié de jiD.

22, Etant donnés les trois côtés étim triangle quelconque , trouver sa surface et le rayon du cercle inscrit*.

Soit ABDj fig, 6, un triangle quelconque, dont on connaît les côtés a, 6, rf, on demande sa surface s et le rayon r du cercle inscrit.

1®. Pour trouver cette surface, il faut depuis un des angles, comme A^ abaisser une perpendiculaire AP sur le côté opposé a, ou sur son prolongement, et désignant cette perpendiculaire inconnue par or, on aura;

il s'agit donc de calculer d'abord la valeur de x.

Or on a DP = V^ô* — x^ et BP = 'v/d» — a?* , ce qui donne , en désignant par b le plus grand des côtés btid:

a = \/6* — x^ it ^d^ — x^ ; et de là on tire , par des calculs semblables à ceux du n^ 20 , ou Tune ou Tau* tre des formules suivantes :

sur quoi il faut observer que la lettre a, qui est au dehors du radical , dési* gne le côté sur lequel tombe la perpendiculaire.

£n prenant successivement ces trois valeurs de or, et les mettant dans (1) on obtient: ^

c'est l'expression de la surface du triangle. Du reste nous allons transformer «e» formulea en une autre qui sera plus avantageuse pour l'application du cal-

12 QUESTIONS GÉOMiTRZQUEIy

cul , surtout si on veut opérer par logarithmes , et qui se montrera plus symétrique relativement aux trois côtés.

£n se souvenant que la différence de deux carrés est égale au produit de la somme des racines par leur différence, on. pourra écrire ainsi la pre-> mière formule ( 2 ) :

ce qui est la même chose que :

mm»^^m^^^^mtmmmmimÊÊmÊmiaÊmÊÊmmimmmifmim^^

^=JV^[(a* + 2a6 + 6») — ci»] [d» — (a*— 2a6 + 6*)] ; ou que : ^

et , par le principe déjà cité :

s = l\/(a+fb + d) (a + ô — ^) (d + a — 6) (d — a + 6); d'où l'on tire , en divisant la quantité sous le radical par 16 y carré de 4 :

s = x/k(^+b+d). L(a+b — d), l(a+d—bX |c6-hd— a). Cela posé, si ronfait|(a+6-hd) ou le demi-périmètre égal à p , on aura l{a + b — d) ou l(a-hb + d—2d) ou iCa + b + d) — d^zp^-d; on trouvera de même |(a+d — b)=p — ô, et |(ô + d — a)=:;>~a; en* sorte que la dernière formule deviendra :

s=:\/p(p — a) {P'-'b) (p—d).... (S), dans laquelle , comme nous le savons ,j9 exprime le demi-périmèti*e , et a , 6 , ^, îes côtés. On trouverait le même résultat au moyen des autres formules (2\

2®. Maintenant si depuis le centre Cdu cercle inscrit, on mène C!^, CBy CD^ on décomposera le ti'iangle principal en trois autres CABy CBD , CDA^ et la somme de leurs surfaces vaudra celle du triangle principal. Pour calculer ces surfaces , on abaissera sur les bases AB^ BD , DA^ les perpendiculaires CE^ CFy CGy qui seront des rayons, et Ton aura CAB :=:.\rd ^ CBD ^=:^\ra CD A = I rô ; ajoutant Ton obtiendra :

j=sjr(a+t + d) = r/>, Gt par conséquent ,

#u ce qui revient au même :

' 23. Du reste la formule s=rpy nous apprend que si l'on connaît le rayon et

BIÊSOLUES PAB l'ALGÈBRE. i3

le contour I on peut trouver la surface en multipliant le demi-contçur par le rayon ; et la formule /•==■£. nous dit que si l'on connaît la surface et le contour, •n peut trouver le rayon en divisant la surface par le demi-contour.

24. Si le triangle ABD est rectangle en -< , on a a* =5 6* + 1?* ; mettant cette valeur de a* dans Tune des formules (2) , par exemple la dernière, on trouve : ^^

c'est-à-dire qu'alors la surface vaut la moitié du produit des deux côtés de TanV gle droit ; ce qui est d'ailleurs évident , puisque l'un est la base et l'autre I9 hauteur.

Mais si l'on met cette valeur de s dans (4) on a :

bd bd

Or en écrivant le dénominateur ainsi , (ô + ^)-t-a, on peut le considérer comme la somme des deux quantités 6 4* <:? et a ; donc si on le multiplié par la différence de ces mêmes quantités ou par (6 + d) — a, on aura 4u produit là différence dçs carrés de ces quantités ou ô* + 2bd + cP — a* ; ce qui revient è^*+26rf4-d*— r6*--<i*ouà26rf.Ainsi(a+ô + d)(6+£f — a)=z=2M; et par conséquent

d'où il résulte que •

r = |(6 + rf — a)=p — a.

Si le triangle était rectangle en ^ , on aurait ô* == a* + d* , substituant dan<) la seconde formula ( 2 ) on aurait Szx^\ad^^t ensuite rzrsp^^^b,

Enfin s'il était rectangle en Z>, on aurait d* = a* -f-6*, çt l'on obtiendrait, par la première formule ( 2 ) , j = i oô , d'où l'on conclurait r=p — d.

C'est-à-dire qu'en général , dans le triangle rectangle , la sur/ace waut le demi-produit des deux cétés de T angle droit , et le rayon vaut le demi-contour moins t hypoténuse.

Nous allons trouver encore cette valeur du rayon , par un calcul particulier.

26. Etant donc donnés les trois côtés dun triangle rectangle ^ trouver Wftr médiatement la grandeur du rayon du cercle inscrit à ce triangle.

On connaît les trois côtés a^b^d^ Rg. B^du triangle JIBD , rectangle en if , ^ et on demande CE ou a?» : .

On sait que la ligne AC partage l'angle A en deux parties égales ; chacune d'elles vaut donc un demi-droit. Il »uit de là que lelriangle ACE^ rectangle en

|4 fitîEaTipKS o<oM*Tm(îuii,.

j5, est iRorèlp et donne C£ ou 3? = ^i?; mal* 4E^=^AQ^ to«t comme SE=^BF et hQ^=^DF; appelant donc le périmètre eçtier 2^, on a CE ou ^£ ou

d-oû Ton tire :

Ainsi le rayon est égal à la moitié du périmètre du trUmgîe moins Thy^ pûténuse ; ou ^ ce qui revient au même , il vaut la moitié de la somme des deux côtés de Tangle droit moins la moitié de Thypoténuse. On peut donc facilement le calculer.

Si par exemple les deux côtés de Tangla droit étaient de 3 et 4 pouces et l'hypoténuse de 5 , le contour serait de 12 , sa moitié de 6 , d'où retranchant l'hypoténuse 5 , il resterait 1 pouce pour la longueur du rayon,

26, Etant donnés Vhypotënuse d'un triangle rectangle] et le rapport de ses deux autres côtés ^ trouver sa surface.

Soit «1 fig. 5f l'hypoténuse du triangle, et représentons les deux autres côtés inçQnnus btid par x et par y ; enfin supposons que Ton ait ;

xxyw m : n , les deux nombres m et n pouvant varier, pourvu que leur rapport ne change pas et soit connu.

ton tire de cette propprtion ;

m eiisorte qu*un des côtés de Tangle droit étant x , l'autre est^ a?; ce qui donne pour l'expression de la surface s , cette première équation en x :

d*un autre côté , onaa?' + 2/*==a*, ou

équation dç laquelle on tire :

substituant cette valeur dans (B) , on obtient :

Si on Youlait calculeir la valeur des côtés de Tt^glt droit , on prendrait a? dans ( C ) et substituant dans ( ^ ) , on aurait :

ma

X onb

y ou c? = ■ " '

Enfin si l'on prenait la moitié du produit de ces devx quantités , on retrouyerait l'expression de la surface ou ( 2) ) , comme on le voit d'un coup-d'oeil.

27. Si le triangle rectangle était isocèle, il feudrait Mre n = m et les formules (£) et ( Z) ) donneraient ;

Ccst*à-dîre que la surface dun triangle rectangle isfôcHe , éH lé quart du carré de T hypoténuse ; ce qui est d'ailleurs évident,

28. Etant donnés la somme des trois côtés d*un triangle quelconque , et les rapports qu'ils ont entr^eux , trouver ces ctUés^

Soient les trois côtés inconnus ic , y et z , désignons par 2p leur somme coin nue ou le périmètre du triangle , et supposons que l'on ait :

iv:l::y'efn::atn^

^ en conclura :

l+m-^nix+y + ziiliXf /+/n4-nfa?-f-j/4^:5::;?Ky,

d'où Ton tirera, en mettant 2p à la place de a; + y -+--f et 2k à la place de

pi pm pn

Si on veut alors la surface du triangle et le rayon du cercle inscrit , ôxi 1^ calculera par les formules du n^ 22.

29. Etant donnés le périmètre dun triangle rectangle et le rapport de T hypoténuse à la somme des deux autres eâtés^ détenniner la sur/ace du triangle^

Soient x l'hypoténuse , y et z les deux autres côtés , et ^ 1» surface cb^i^ 4ihée^ on aura d'abwcd ^=:|â:y. Mais puisque nous ço^z^aîssons I9 rap»

16 aVSSTZOIfS OioMSTHlJ^VBS,

port de rhypoténuse à h somme dea deux autrea côtés , supposons que Ton ait;

on en tirera :

mettant à la place de y*+z* le carré de l'h/poténuse a;*, transposant, réduisant et divisant pa^ 4 , on obtiendra :

layojxs^ — :^ — (Jo?*) ..-. (3).

Cherchons donc à présent la valeur de x* pour la substituer ici. La propor* tion (l) donne :

d'où Ton tire , en désignant par 2p le contour connu x^y + z:

faisant le carré , prenant le quart , subsituant dans ( 3 ) et réduisant ^ on obtient :

Observons que nous avons trouvé outre la surface s , Thypoténuse x ; cherchons aussi les autres côtés y et z. On a d'abord ^ par la propriété du triaa*gle rectangle 9 et par (4): . . '

d'ailleurs (2) et (4) donnent:

élevant au carré et égalant les deux valeurs de z^ , on aura ime équation du second degré en y ^ laquelle étant résolue donnera :

y=i — Ç — (n±v'2m* — nO.

Et comme les équations qui ont donné les deux valeurs de z^ , que Ton m égalées pour éliminer z ^ sont les mêmes pour z et pour y ^ si Ton eût éliminé y au lieu de 2^ ^ on aurait obtenu pour z les mêmes valeurs qu'on a obtenues

pour

RÉSOLUES PAR L*ALGiBRB. il

pour y ; endorte que ces deux valeurs sont celles des deux côtés désignés im* différemment par y et par z,

30. Trouver la surface et les côtés x ^f jr , fig- 6 , d!un rectangle , dont on ne cannait que le contour c et la diagonale d, ^ ♦

H est évident qu'on a les équations :

x + y = lc....iA),' x^ + t/^=:d^.i.. (B);

la première donne, en la carrant, pour avoir un terme^, qui exprimera la' surface:

d'où Ton tire , au moyen de C-^ ) :

2xy=ric^^-(cc^ + y^) = lc* — d^;

et en divisant par 2 :

xyo\xs = lc^ — Id* .... ( C).

Cest-à-dire que la surface dun rectangle vaut la huitième pcurtie du carré du contour , moins la moitié du carré de la diagonale.

Maintenant si Ton met à la place de y dans r C ) la valeur de cette lettre prise dans (A^y ou |c — <ap, on aura une équation du second degré en x,

qui donnera :

x=^\c±:\/id* — iiC^....{D).

On trouverait le même résultat pour y si Ton mettait dans (C) la valeur de X prise dans ( -^ ) , pai-cè que ces deux équations {A^ et ( C ) sont sjmé» triques en x et en y; d'où il résulte que la première de ces deux valeurs appartiendra au plus grand côté , et la seconde au plus petit.

31. Si l'on suppose que | eP = J^ c* , on aura, au mo/çn de ( J5 ) et d'après ce que nous venons de dire :

a7=»Jr, y^\c; c'est-à-dire que chaque côté vaudra la quatrième partie du contour ; ce qui est leras du carré.

Or cette équation |c = a?, doiine ^^=a^, mettant cette valeur dans |d*=r^£r*, ona|d* = a:*; d'oi\ l'on tire d* = 2a;* et ^f = or v'2 ; ce qui est le principe de la diagonale incommensurable avec le côté du carré.

D'ailleurs en supposant ^ c* = | d* , on a | c* = d* ; mettant donc dans ( C) cP à la place de | c* , on trouve :

^=:d*~{d*=:|d*; c'est-à-dire que la surface dun carré vaut la moitié du carré de sa dior

f9 QUESTIONS OiOMéTRXQIfES^

goiiaU ; ou que si Ton construit un carré sur la diagonale dun autre eam/,

eelui-là est double de celui-ci. ( Géom. Liv. IV. Th. IX. Cor. IV ).

32- Trouver les rapports de la surface de la sphère avec les sur/aces la^

térales et totales , soit du cylindre droit circonscrit , soit du cône équilatéral

aussi circonscrit.

Désignons par 2r le diamètare de la sphère , et par 1 : » le rapport général

du diamètre à la circonférence du cercle , on aura d'abord 1 : «* : : 2r : 2 «r r

et de là on conclura :

Circonférence de la sphère . . . 2 «■ r ,

Surface d'un grand cercle » r* ,

Surface de la sphère 4 */•*.

Le cylindre circonscrit a poiur base un grand cercle de la sphère , et pour

hauteur le diamètre , ainsi :

Surface latérale du cylindre .•.2irrX2r = 4^r*,

Surface totale ..4*r* + 2*r*==6«' /*.

Le cône équilatéral circonscrit a pour diamètre de sa base , tout comme pour

apothème, 2r\/3 (n*, 13), il faut donc faire 1 :»::2rv^3: 2 «rry^S, et To»

aura:

Circonférence de la base ... 2 » r v^3,

Surface de cette base 3*r*,

Surface latérale du cône . • . . 6 v /^ ,

Surface totale du cône . ....Q^r^.

Nous pouvons conclure de tout cela: l^ que la surface de la sphère est égale à la surface latérale du cylindre droit circonscrit ; 2^. qu'elle est les deux tiers de la surface totale de ce cylindre , et aussi les deux tiers de la surface latérale du cône équilatéral circonscrit ; ensorte que la surface totale du cylindre est égale à la surface latérale du cône; 3^. que la surface latérale du cône est double de la surface de la base , et qu'elle est les deux tiers de la surface totale ; ensorte que ces trois- surfaces sont entr'elles comme 1 , 2, 3; À^. que la surface de la sphère est à la surface totale du cône comme À est à 9- Les surfaces totales des trois corps sont donc entr'elles comme les nombres 4,6,9; ensorte que celle du cylindre est moyenne proportionnelle entre les deux autres.

33. On trouverait de la même manière que les surfaces de la sphère, du cylindre droit inscrit (*^, et du cône équilatéral inscrit, ont pour exprès-

Ç*) J'entends celui dont le diamètre de la base est égal à la hauteur.

b£solu£8 pas l'alûèbrf* Il

sion 4 ♦ /•* , 3 * r* , I * r* ( n***, 8 et 9 ) , et sont entr'elles comme les nombre* 16 , 12 , 9 ; ensorte que la surface totale du cjlindre inscrit est aussi moyenne proportionnelle entre celle.de la sphère et celle du c6ne équilatéral inscrit.

34. Quant aux volumes de la sphère , du cylindre droit circonscrit , et d« cône équilatéral circonscrit, on trouvera facilement qu'ils ont pour expression I^H, l^^'? \^^^i ^l^ sont donc aussi entr'eux comme 4, 6, 9.

Mais les volumes de la spKère , du cylindre droit inscrit , et du cône équila* téral inscrit, ayant poui* valeur f«^r*, f»r^y'2, |»r*, leurs rapports ne sont plus les mêmes que ceux des surfaces de ces corps. Cependant la solidité du cylindre est toujours moyenne proportionnelle entre les deux autres.

35. Ne quittons pas encore la sphère ; supposons que le secteur circulaire ACD y fîg. 7, tourne sur AC^ il décrira un secteur sphérique CDAE^ dont i^ous allons rechercher le volume.

Or il est évident, par les n*. 45 et 38 du Lîv. X des Elément de Géométrie , r. que le volume de ce secteur est égal à la surface iMMMM décrite par l'arc AD^ multipliée par le tiers du rayon r; T. que cette surface ellemême est égale à la circonférence d'un grand cercle de la sphère , multipliée par la ligne AL y que l'on détermine en abaissant DL perpendiculairement sur AC. Nommant h cette ligne AL y on aura donc :

Circonférence d'un grand cercle . . . 2 ^r /• , Surface sphérique décrite par AD .. .2^rh,

Solidité du secteur sphérique \^r^h.

On voit par là que si Ton compare les volumes de deux secteurs d'une même sphère, appuyés sur des calottes dont les hauteurs sont A et A' , ces secteur* seront entr'eux comme les hauteurs des calottes.

36. Cherchons maintenant le volume de la calotte décrite par ADL.

Il est évident qu'il est égal à celui du secteur sphérique , moins celui du oône droit décrit par CDL. Or le volume de ce cône vaut sur/aee DL X f CL ; d ailleurs DL est moyenne proportionnelle entre AL et LB ^ ou entre AL et AB -— AL y ou entre /i et 2r — - h ; ainsi DL =: \/2Ur —^ /t* ; ce qui donne :

Circonférence de DL 2 «r y' 2rh — h^ ,

Surface de DL «•(2^/^ — ff)y

Volume du cône |«r(2rA — /i*) (r — h)^ ,

Volume de la calotte , réduct*. fkîtes . . . ^h^(r — J /i ).

37. Si on voulait avoir le volume du solide décrit par DL CG , en supposant le rayon CG perpendiculaire sur ^IC, il faudrait de la demi-sphère décrite par

<iO QUESTIONS GiOMÉTBIQUBS ,

,-^CG^ sowtraîrc la calotte décrite par jiLD. Mais pour faire cnti-er dans rexpression de ce volume la hauteur CL de la zone en question , U faudra nommçr cette hauteur i, et mettre, dans le volume de la calotte, r— i à la place de h. Cela posé on aura :

Volume de la demi-sphère Cn^ 34) f ^''S

Volume de la calotte (n^ 36) f »(2r5— 3£r*4-iOj

Volume de la zone décrite par CLDG, réduct*. faites •..«•( ir* — | i' ). 38. Maintenant il sera facile de trouver le volume de la zone décrite par PLDM; il suffira pom* cela de retrancher du volume de la zone précédente , celui de la zone décrite par CPMG , dont on suppose la hauteur CP désignée par k. Or ce volume égale , par ce qui précède , ^ (kr^ — | ^^ ) ; on .aura donc, pour celui de la zone de PLDM:

ir(i/^— Xi») — »(A:r»— |ft3)5 quiseréduit à*[r*(i— *)+f(*'— ^O]. Mais pour ne laisser dans cette expression que des lignes qui appartiennent à la zôneV faisons PL=:ly, PM=zm^ DLz=zn^ nous aurons d'abord •... i = ft + / ) et si nous mettons cette valeur à la place de i dans la formule précédente , elle deviendra , après les réductions : ^

Or r^ — k'^Cr+k) ir-^k):=BPxP^ = P^ = m.'' ; donc la,fonnule peut encore s'écrire ainsi:

*Z(m» — W— |P); et il ne reste plus qu'à voir ce que vaut kl exprimé en /, m , n. • Puisque r- — A:* s=s m* , on a r* = m* + ^ > mais , d'un autre côté , le triangle CiZ) donne r*=rn*+î*, et parce que £=*+/, onar>=n* + **+2W4-^;

égalant la première et la dernière valeur de r* , on trouve «

m*+/c?=n*+A*+2it/+/*; d'où Ton tire, après les réductions:^

W=|(m» — M* — P); mettant enfin cette valeur de kl dans la formule, elle devient, calcul fait:

Cette expression étant indépendante du rayon permet de calculer la solidité d'une zone , lorsqu'on connaît sa hautem* et les rayons de ses deux bases.

Remarquons que l'on peut encore écrire ainsi cette même formule :

|(*m»7h»n*)/+è'^- On voit alors que «• m* et «• n* sont les surfaces des deux bases de la zone ,

dont / est la hauteur , et que J «• P est le volume d'une sphère qui aursdt

pour diamètre la hauteur l de la zone. On peut donc dire, comme Legendre,

JtisOLUES PAB l'AIGEBRE. 21

^ut la solidité dune zone a pour mesure la demi-somme des bases, mullipliée par la hauteur , plus le volume dune sphère dont cette même hauteur serait le diamètre.

39- Du reste , pour que la zone devienne une calotte , il n'y a qu'à supprimer la base supérieure , ou faire n := o ; alors la formule précédente se réduit à ceci :

Or il est facile de voir que le premier terme est le demi-volume d'un cylindre droit , qui aurait pour base la base 'de la calotte ou m , et pour hauteur celle de cette même calotte ou /; quant au second terme, il n'a pas changé. On peut donc aussi dire , avec Legendre , que le volume dune calotte vaut la moitié dun cylindre de même base que la calotte et de même hauteur qiCeUe , plus une sphère dont cette hauteur serait le diamètre.

Mais cette règle s'accorde-t-elle avec la formule du n^. 36 ? C'est ce qu'il faut examiner.

£t d'abord , si dans cette formule on met / au lieu de h , pour représenter la hauteur AL , on a :

ensuite le triangle CDL donne r* = m* + (r -^ /) * , parce qu'actuellement JpZr = m et AL z=:l^ et de là on tire :

mettant cette valeur dans la formule précédente , on trouve ^ après toutes les réductions :

ce qui montre Faccord du n*. 36 avec celui-cL