CHAPITRE IL
Fonnules cdgéhriques^ cofulruUes par la géométrie : principes généraux.
40. Oi J'on a la formule a7 = a + 6, dans laquelle a et fr représentent des lignes droites données , dont il faut trouver la somme , il pourra arrîrcr deux choses ; ou ces lignes seront données en nombres et rapportées à une certaine unité , comme si Ton parlait d'une longueur de iO pieds, de 8 pouces , de 5 décimètres , etc. j^ ou ces lignes seront , pour ainsi dire , matéiîellement données , par exemple , tracées sur le papier , sans être numériquement évaluées.
Dans le premier cas, la valeur de x pourra se trouver par une opération de calcul , et c'est ainsi que nous avons supposés résolus les problèmes du chapitre précédent. Dans le second cas , il y aura lieu à ce que Ton appelle une construction géométrique^ qui fera connaître la valeur de a: , et Ton voit bien qu'il suffira pour cela de inettre bout à bout, et dans une même direction , les deux lignes a et b.
On construira tout aussi facilement l'équation a? = a + 6-f-c-f- etc.
Quant aux soustractions de lignes , il est évident qu'elles se font par des superpositions , et nous n'avons rien à ajouter à cet égard : on voit bien comment il faudrait constiiiire ces formules ,, x=za — b^ x=:a — b — c, a: = a + 6 — c, etc.
Du reste , je ne prends ici que des termes d'une seule lettre chacun , et je ne donne point d'exposans aux lettres , et cela pour ne pas mêler avec l'addition et la soustraction des opérations différentes , que nous allons successivement examiner.
ÀL Si l'on avait à construire la formule a: = ai, il faudrait bien se souvenir de tout ce qui a été dit ,-^ dans la Géométrie, de la prétendue multiplication des lignes (Voyez Liv. III. n^ 11 avec la note. Liv. IV. n^. 3, 11 , 13, 14, 15); on comprendrait alors que si les deux lettres a et ô représentent réellement deux lignes, leur produit ab ne peut être que le rectangle de ces lignes ; dans ce cas x serait une surface. Mais si , par la question qui a domié la formule, x doit être une ligne, comment accorder ces choses? Il n'jr a
FORMULES ALSEBBIQUU , CONSTRUITES FAX LA CtCMÛTMJ. 23
qu'à supposer que x est multiplié par une certaine ligne prise pour unité , et que nous désignerons généralement par /; alors Téquation deviendra te = ^^6 , et donnera la proportion I:a::b:x. Construire Péquation dont il s'agît , pour trouver x , ce n'est donc autre chose que chercher une quatrième proportionnelle aux lignes l^aeib; et c'est ce que Ton sait faire géométriquement (Géom. App. Probl. XV).
Si Ton avait x =: abc , on supposerait x multiplié par /• , et l'on aurait à construiie :
l*x:=:abc ou a? = — — -
On ferait d'abord :
l:a::b: une 4**. ;
et cette quatrième proportionnelle vaudrait •* ; ©n ferait ensuite :
/ : — j- : : c : une J^^, ;
, . abc et cette quatrième vaudrait — y^- ou x.
On voit donc comment il faudrait construii-e x = abcd , x = àbcde ete. Et si l'on avait :r = (a + 6) (c + d), a: = (a + 6) (c — d), etc., ce ne serait qu'une combinaison des opérations précédentes.
42. Si les lignes à multiplier étaient égales , ou si la formule à construire indiquait une élévation aux puissances, au lieu d'une simple multiplication, on opérerait à peu près de la même manière : ainsi x=iaa donnerait Ix = aa ou l:a::a:x; ce serait donc une troisième proportionnelle à chercher au lieu d'une quatrième ( Géom. App. TrobL XV. Schol. II).
D'après cela x=:aaa donnerait Ux<=raaa^ ou Ar = -^^^ , et l'on ferait
d'abord :
lia:: a: une 4*^., qui vaudrait S; on ferait ensuite :
. aa
lia::-^: une 4^.,
qui vaudrait ^ ou ar.
£t ainsi de suite.
Il est donc clair que x=:a^ + 2ab + b^ oux=:(a^b) (a + 6) donnerait / : a+ 6 : : a + A : a? ; et Ton voit bien comment il faudrait constiuire xz=a^+3a^b+Ôab^+b^ oux=2{a + by; etc^
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43. La formule étant a?=r — 9 on écrira d'abprd bx = alj ce qui donnera
i:a::l:x; l'inconnue est donc encore ici une quatrième proportionnelle.
ab Si Ton avait x=: — , cela donnerait cx=zabtt c:a::b:«; Qtèi Ton avait
a «?=-T^ , on {crBitbcx=:aU^ ce qui rentre dans les cas précédens« oc
44. On Toit du reste que les additions et soustractions de lignes ne mérî« lent pas qu'on s'y arrête , à cause de leur simplicité , que les divisions rentrent dans les multiplications , et , réciproquement , que les multiplicutîoha rentrent dans les divisions. Occupons-nous donc encore un peu de ces dernières..
