CHAPITRE II
Des sections coniques^ tirées de VéqiuUion générale à deux indétermîne'es
du second degré,
302. Oorr Téquation générale à deux indéterminées du second degré ,
ay* + bxy + ex* -{-dy + ex +/= o . . . (1) ,
dans, laquelle les coéf^ciens a, 6 , c^ etc. sont connus , ou sont , si Ton veut, des lignes droites données, cherchons quelles courbes elles peut représenter , lorsque les coordonnées font entr'elles un angle quelconque , droit ou oblique (n^ 117).
Si le premier terme , ou le terme en y* , ne manque pas dans l'équation » et qu'on la divise par le coefficient a de ce premier terme , on obtiendra j pour première simplification :
Or l'unité linéaire étant donnée , ou prise à volonté,' il sera facile de trouver en lignes les valeurs de i, L, 1, eCc^Cn**. Ai. 43), et désignant ce* valeurs par B y C^ D^ etc. , on aura :
y^ + Bxy + Ca^ + Dy + Ex + F = o ... di).
Cette première opération ne changera , ni la courbe , ni ses coordonnées ; tout comme on ne change rien à une ellipse en divisant par c^ son équation cy = cV* — i?'*a?*, pour la mettre sous Tune ou l'autre de ces formes :
/a va
rA
s/* + tr ^ — «'* = o » y* = ^ (c* — a;*).
303. Cela posé , si nous tirons de (2) la valeur de y , nous trouverons :
et si nous désignons par z U première partie de cette valeur, nous au« rons :
9ISCOSSI0V nm h'tQpXtKm a icux SKoênsMiNJÈEs. 239
z== — Î5x — iZ) .... (4); •
équation cTune ligne droite qu'il sera facile de construire; et l'ordonnée variable de cette droite représentera toujours la première partie de la va-^ leur de Tordonnée y qui correspond à telle ou telle abscisse x.
Soient JX' , YY\ fig. <03, les axes auxquels on doit rapporter la courbe cherchée , axes qui se croisent sous un angle quelconque , si nous prenon$
00' = — î /> et OH = • , la droite HOf sera le lieu de (4) ; comme
on le voit en faisant dans cette équation , d'abord a: = o pour avoir la valeur de l'ordonnée z qui répond à l'origine , c'est-à-dire la valeur de 0(T^ puis z '= o pour avoir la valeur de l'abscisse x qui rjépond au point H^ c'est-à-dire la valeur de OH.
Ayant donc pris une abscisse OP à vobnté , si Ton mène fN parallèle i Taxe des y, on aura PN = — |(iffa: + J5) , et si l'on connaissait la valeur du radical, et qu'on la portât en NM et iVA/' les valeurs de y correspondantes à cette abscisse OP seraient MP et M' P. La droite HOf est donc un diamètre de la courbe ^ en nommant ainsi toute droite qui partage en deux parties égale» chaque corde MM' (n®", 205. 2-47. 260);^ tandis. que l'axe XX' n'est , ni un axe proprement dit ( n®. 206 ) , ni un diamètre^, puisqu'il paitage les cordes MM' en deux parties inégales.
304. Cherchons donc à ramener la courbe et son équation aux axes HOf'
et r7'.
Comme NM égale ta partie radicale de la valeuF de y^ si on Kappelle rf^
on aura ;
y',=l^iB' — ÂC)x^+liBD'^2E)x + iD^ — ÀF) ... (5) ;
d'où l'on tirera , en carrant et transposant (*) :
Prenant aloi's le point C pour îa nouvelle origine , et nommaiit x' la nouvelle abscisse OW, il faudra trouver la valeur de x en a?'.
C*> Si on eût ordonné Téquatien (2) relativement à y, le eoélficient du secoAd! terme aurait été Bx+D ^ et en faisant, comme nous venons de le faire , . . .. ..
y = y'""î (Bx + D)^ puis substituant dans (2), on aurait obtenu (6). Notre procédé a donc été conforme à celui que prescrit l'algèbre pour faire disparaître le 4»econd ternie d'une équation*
24» DISCUSSION ^E^jÉrgUATlOBr
Or 81 l'on mène QfG parallèle à XX^ , on aura OG = OP = a? , et . . ^ Q^ -3 pjvr — * JL Z> i= I Bx , parce que PiV, abstraction faite, de sa direction ,
vaut \Bx^\D. Ainsi le triangle CyC^iV donnera, en désignant par > Fan- \
gle des coordonnées , et supposant le rajon des tables 5 = 1 ( n®. 100 } : |
x'» = «* 4- J ^a;* — -ffx* co^ y . . . (7)-
De là on tirera:
V^ + iî* — 4if CM y <,
et si Ton fait
j /-nx — = tf I on aura x = 2tfj:' . . . (10).
^ -/4+^ — 4if ca^ y
Substituant enfin cette valeur de a: dans (6), on obtiendra :
C'est réquation de la courbe rapportée aux axes ON et YY' ; et si Toa désigne ses coéfficiens par C,E' ,F\ eUe deviendra (*>:
1^*1 + C'a/* + iSV + i^' = O • . . (12).
Cette équation aurait la forme des équations (JT) et (9) des n^^ 200 et 203, «i son dernier terme était nul : or le dernier terme , ou le terme tout constant /manque toujours quand l'origine est sur la courbe ; car il faut dans ce cas qu'en faisant l'ordonnée nulle , on ait au moins une valeur de l'abscisse égale à zéro , ce qui ne peut avoir lieu avec un terme constant dans
l'équation.
305. Essayons donc de porter Torigine sur la courbe , et voyons d abord dans quel point cette courbe rencontre Taxe des x' ou le diamètre QfK. Faisant dans ce but y' = 6, nous obtiendrons :
(♦) Pour faire disparaître de l'équation (2) les termes en a;y et y , j'aurais pu employer les formules de la transformation des coordonnées. J'ai préféré la in;irche que j'ai suivie , comme étant dans ce cas-ci plus facile , plu§ expéditivc ,
et plus lumineuse , quoique sans doute moins générale. . ^
^ Ainsi
A DEUX INDÉTERMINKËS. 241
Ainsi pour transporter Torigine le long de Taxe des x Jusque sur la courbe, nous pourrons faire ( n*^. 158 ) :
réquatîon (9) dcviendi'a, par la substitution de ces valeurs, et aj^rès avoir réduit et transposé : ''•.': *
y*^ — VA'*— AC'lf' . x" — Cbc^ , . . (15), •
, ou, en remettant les valeurs de C\ E\ F' :
i/'^:=z±êy/i2E— BBy—iÀC-^H^) (^AF—D^y.x"—d^ {ÀC—B^)x''^ ... (16);
formule tout-à-fait comparable aux équations (ZT) et (9) des n°'. 200 et 203 , du moins lorsque le radical ne deviendra pas imaginaire. Cette é(j|uation appartient donc en général aux sections coniques ; et suivant que le*^ dernier angle des coordonnées sera droit ou oblique, elle 'sera aux axes ou aux diamètres. ^ ^
306/ Observons, avant d'aller plus loin, que les Valeurs de x et de x' ^ fig. 103 , étant toujours des portions riéelles des axes HO ^ HO' , ne peuvent être imaginaires ; d'où il résulte que ^ est aussi réel ; car sans cela x nfe le «erait pas, comme on le voit dans (10). D'ailleurs si on supposait dans. (9) 4^- ^ — 4^ c(W y = — f , on en tirerait -ff = 2 cos y + y^-é cc>.s * y — ( « «f- 4 ) • ce qui est absiurde , puisque cos y est toujours plus petit que le rajcon , que nous avons fait égal à 1 ; ensorte que Acos'^ y < 4, et que • + 4 > 4 , car f est décidément en + pour que — « soit en — , comme nous avons vouk le supposer.
Il faut observer en outre que ^ doit toujours être en +; car quand x' est en + ^ l*esl; aussi , comme il est facile de le voir par les différens cas que peut présenter la figure ; or si ^ était en — on aurait , par la formule (10), a; en — quand x' serait en +•
Au reste si l'angle des premières coordonnées est droit , on a cos y =: o
et I = , ■■-- <>
307. Cela posé, si 4C==:^% ou si C=i\B^ = (| ^)», ou, ce qiii est la même chose , si les trois premiers termes de (2) fonneat un carré parafait, la formule (16) devient: ... .
Hh
2^2 DISCUSSION DS j/i^VATlOS
i/'^ = ±ê(2E-^BD)a/* .... (17);
équation d'une parabole dont le paramètre de l'axe ou du diamètre est • • l(2£ — ^Z)).
Si le coefficient de a/' était en moins ^ l'ordonnée t/* ne serait possible qu*aTec des absoisses en moins; ainsi la parabole seriùt tournée du côté de ces abscisses.
Si le coefficient de x" devenait nul , pour ne point se tromper ment à ce cas il faudrait retourner à la formule (3) ^ qui deviendrait nos suppositions actuelles :
et selon que D^ •— ÂF serait en pàis^ on zéro^ ou en moins ^ on aurait^ ou deux droites parallèles , ou une droite seule , ou rien de possible. Voies des exemples de ces diffërens cas :
>* — - 2jrjr 4-** + / + « + l==o parcAéU; f" — 2xy + x* H-;' — a: + 1 = o deux droites^ y* — 2«y + a:'+jp — x-hî =o wu droite ;
96%. Si -4C— iî* est en +f te &mîer terme de (16) reste enr — , et 1» €0wbe est une elfipse , dont le second sommet est placé, ou du côté des x en +> <ni ^u côté des x en — •^ «uirant que le coefficient <le x" est en + ou en — .
Si ta quantité qui est sous )e racfical de <16) se troure nuUe, la. formule
4omie: ...______
y = y^|i(4C— if*).«^ .... (ig);
équation cTun point , qui n'est autre diose que la dernière orignie \ l'ellipse se réduit donc à ce point*
Si la quantité sous le radical de (16) se trouve en -— » elle sera aussi en^ — dans (16), dans (14), et dans (13) > et Ton en devrait conclure que la courbe ne rencontre pas Taxe des x' ou le diamètre (/N; mais comme une ellipse réelle rencontre tous ses diamètres ^ il en résulte que Téquation daa» ce cas ne représente rien , et que la valeur de y est imaginaire ou Impoa-^ tible.
Si |V4C — ^) = 4- 1, sans que le coefficient de x" soit nul ou impoa^ sible I l'équation prend cette forme i
A DEUX IND£T£SMIIfÉlS. 24S
y* = 2dx" ~ a:"* ;
et si l'angle des nourelles coordonnées ou l'angle HCfO est droit » la combe derient un cercle dont le diamètre est :
V^f i2E — BDy ^HF-^ /)»);
tandis que si cet angle est oblique, la courbe reste une ellipse i mais elle est rapportée à ses diamètres conjugués égaux ( n*. 265 )•
Du reste pour que Tangle HC/O soît droit, il fiiut que Ton ut, conunt ou le voit par la figure :
d*oA Ton tire facilement :
B=z2cos> .... (20).
Or comme le cosinus de r est toujours plus petit que le rajron 1 , il faut donc qu'on ait i? < 2.
Voici des exemples de ces diffërens cas.
y^ — 2xy + 2x» + 2jf + x + 3 = o eUipse ordtnaite; >*— • 2ay + 2a:* 4* J^ — « + 1 = o un point; >•+ ay+ a:*4* J^+|«+l=o rien; f+ a:f+ «* — ^+3x + 2=;o cerch ^ H cos r ^sx\. f' + 2xy + 2«* -* 7+«— 1=0 eZ/v'M omj: diamètres égaux ^
si easr=s^.
N. B. L'avant dernière équation représente un cercle , si le premier angle des coordonnées Tant les } d*un droit, parce qu*alors son cosinus est égal à la moitié du rajon des tables que nous ayons supposé 1 , et quil est par conséquent égal à|Zf, puisque B est aussi i. Elle satisfait d'ailleurs aux autres conditions du cercle.
On verra de même que la dernière équation , quand le premier angle dea coordonnées est les | d*un droit , représente une ellipse qui , après les transformations , se trouve rapportée à ses diamètres conjugués égaux. C'est ce que j*ai entendu quand j*ai mis à la suite de tette équation : tUipse aux ^bamitres égaux.
ao». SkÀC-^M" est en -^ ^le decmor tcme de (U> devient -ir^ et te
Hh2
244 pisçussiON DE l'équation
courbe est une hyperbole, dont le second sommet est placé, ou du côté de* X ,en — • ou du côté des :ç en + , suivant que le coefficient de x" est en + ou en — .
Si la quantité qui est sous le radical de (16) se trouve nulle, la fonnûlc
donne : ■
équation de deux droites qui se croisent à la dernière origine.
Si la quantité qui est sous le radical de (16) se trouve en moins , elle sera aussi en moins dans (16), dans (14), et dans (13), et Ton en conclura que la coiurbe ne rencontre pas le diamètre (JN. Mais quand une hyperbole ne rencontre pas un des diamètres auxquels elle est rapportée par une équation de la fonhe de (16), elle rencontre toujours son conjugué; il faudra donc changer dans {{) x tn y tt y exi x ^ diviser tout par r, pour avoir une nouvelle équation de la forme de (2) , et la rapporter alors de nouveauà la formule (16). S'il était possible que la quantité sous le radical se trouvât encore en moins , après ce changement d'axe , il faudrait bien en conclure qu'il n'y a point de courbe ; mais cela n'arrive pas , comme nous allons le prouver.
Remontons à la formule (3) ; pour qu'elle fût imaginaire , il faudrait que la quantité sous le radical fût en mx)ins pour toute valeur de x. Or cette quantité peut s'écrire ainsi ;
et pour que ce produit »fùt en moins, puisqu'icî le premier facteur est en
plus , il faudrait que le second fût en moins pour toute valeur de x ;. or on>
peut prendre x assez grand pour que le signe du polynôme en question ne
dépende que de cel^ii de son premier terme x* ( Algèbre n*. 752 , qui est
toujours en plus; donc le poljnome ne peut pas être en nwifis pour toute
valeur quelconque de x ; donc s'il y a des y imaginaires, il y en aura tou*
joursderéeHes; donc aussi la courbe sera toujours réelle.
Si tf* (4C — B^) = — 1 , sans que le coefficient de x" soit nul ou impos*
sible , Téquatîon prend cette forme :
et elle représente une hyperbole équilatète, rapportée à ses axes si l'angla des nouvelles coordonnées , ou l'angle HQ^Q^ est droit, et rapportée à ses
A DEUX INDÉTEBMINÉËS. 2Ài
diamètres conjugués si cet angle est oblique (n°. 255). Pour que le premier cas ait lieu il laut que B =z2 cosy ( n^ 308 \
Si avec ê* (ÀC — £^) ^m — 1 le coefficient de x" était impossible ou imaginaire, l'hyperbole serait encore équilatère; mais il faudrait retourner à (1), changer a: en ^ et jy en a:,, et opérer comme nous l'avons déjà dit il y a un moment*
Voici des exemples de ces différens cas.
y^ — 2xy — a:* -^ 2y + 2x + 3 = o hyperbole ordinaire si > est oblique ;
/*+ ay — X*— jf + 2x — l=o deux droites ;
y^ + 2xy — a* + 2 y + 2r — 1 =0 hyperbole ordin. au second diamètre
si y est oblique ; y* + xy — |a:* +y — ar + l = o hyperb. équil. aux axes si cos y = | ^ y» — 2xy — a:* — 2;^ + 2x -t- 3 = o hyperbole équilatère aux diam. conj.
si y est droit ; y^ Hh 2xy — x* + 2y + 2a: ~ 1 = o hyperbole équil. ait second diamètre
si y est droit ;
N. B. Quand je dis: hyperbole ordinaire. au second diamètre, hyperbofe équilatère aux axes, etc., etc. , j'entends hyperbole ordinaire qui, après les transformations , sera finalement rapportée à son second diamètre ; hyperbole équilatère qui sera finalement rapportée à ses axes, etc., etc. '
310. Observons que, dans tous nos exemples, nous n'avons fait manquer aucun des termes de l'équation; cependant on pourrait supposer nul dans les calculs précédens tel ou tel des coéfficiens de (1); à moins que ce ne fût a; car comment tirer dune équation *la valeur de y*^ si y^ n'y est pas?' Voyons maintenant ce qu'il^ y a à dire de particulier sur les termes qui' se trouveraient manquer.
D'abord les trois premiers ne peuvent manquer à la fois, car réquationi ne serait plus que du premier degré, et elle ne représenterait qu'une ligne droite f n**. 133 ) ; mais nous voulons qu'elle soit du second degré. Considé^ rons donc encore les trois premiers teiines, qui nous ont déjà fourni desmdications très-importantes.
On voit tout d un coup que si le troisième terme manquait tout seul , oib aurait C = o, et par conséquent AC — ti^ serait toujours en moins y parce que B^ est toujours en plus ; ce cas serait donc celui de l'hyperbole , la*quelle pourrait cependant dégénérer en dçux lignes droites.
Si le premier terme manquait tout seul, comme on aurait alors aaso, H ne faudrait pas diviser toute l équation par a , car les coéflkiens devenant tous ou J ou §, la formule (16) ne serait pas propre à nous faire reconnaître k courbe cherchée. Mm ayant ordonné ainsi l'équation (1) :
ex* + bxy + ex + dy +/=:^q ,
on la diviserait par c et on aurait : *
ce que Pon pourrait écrire de cette manière :
^ + B"xy + />"x + £'> + i^" = o • , . (22) ;
prenant alors les x pour les ordonnées et les y pour les abscisses , on re* tomberait dans le cas précédent; ensorte que C" étant nul | on aurait encore , une hyperbole.
Si le second terme manquait seul , on aurait jJ7 s o, et suivant que C serait en plus ou en moins , on aurait aussi ÀC — B^ en plus ou en moins ^ la courbe serait donc une ellipse dans le premier cas, et une hyperbole dans le second; sauf les cas particuliers que ceux-ci comprennent, et que nous
avons vus. Du reste, quand ^sso, la Ugutl/Oy qui vaut —, devient z,
d*où il résulte que le diamètre ZTCX est parallèle au premier axe des x ou à HO. Et, pour le dire en passant, si le quatrième terme manquait seul| ou que Ton eût Z> =: o , la ligne OC/ serait nulle , et le diamètre passerait par la première origine. Il se confondrait avec HOf si on avait en même tems j? s o et D =s o.
S'il manquait deux des trois premiers termes , et que ce Git le second et le troisième, on aurait ^ = o , C =? o , et par conséquent 4Cs3 B^; ce qui senût le cas de la parabole (n^ 307). C!e serait la mftme chose s*il manw qnait le prenûer^ et le second , d'après ce que nous avons vu U y a un
moment
Enfin s'il manqtuut le premiçr et le troisième , tous les coéfllàiens , à causa de a s o, seraient encore ou | ou §, et fat formule (16) ne serait pas pro« pre à ce jcasi comme nous Tavons déjà dit Mais Téquation étant :
*xjr + 4k + ^ +/*» o;
on diviserait d'sîbord par A« et l'on aurait:
ce que Ton pourrait écrire ainsi :
sf + D'''y + £'"x + F*'' = o .... (23).
Si les deux termes du milieu manquaient, cette équation sei^ait celle d un^ liyperbole rapportée à ses asymptotes (n^ 259) ; transportons donc les axes paralléfement fc eux-mêmes , et faisons (n^ 168) :
nous obtiendrons par la substitution de ces valeurs dans (23) :
ay + (i>^— A>/ + (£'''— *)a:"+(A*~Z)'''* --£''%+ i^''')=o.
Supposant alors Z)^ — fc = o et £'"— *s=o, ou A^/y^ et k^E''\ Yé. quation deviendra » après tes réductions :
qui est en effet Téquation d*uBe hyperbole rapportée à ses asymptotes*
Du reste , sousf la forme qu'elle a en (23) , elle rentre déjà dans la classe de celles qui donnent ÀC — iî*'* < o, puisque C" = o , et que le coéffir dent de xjr, désigné généralement par B^ et qui doit Fétre ici pexB^^\ se trouve égal à Tunilé.
dit. Il résulte donc de tout cela, que toute équation a deux wdétermi* Bées du second degré désigne f ou une parabole y ou une ellipse y ou une hyperbole, ou un cercle, ou une droite, ou deux droites parallèles,, ou deux droites qui se croisent , ou un point j ou rien;
Quant à la mamère de discuter et de construire ces équation» dans efta» que circonstance, tout ce que nous avons^ dît dans cet ouvrage, et ce qu^ iK>tts venons de voir encore dans- ce chapitre, suffit amplement pour qu*it ne reste aucune difficulté à cet égarck^ Nous donnerons bientôt de nouveaux exemptes , sur lesquels les commeo^ans feront bien de s'exercer ; mais noua allons d*abord revenir sur quelques détait» qui pourront être utiles»
312e Nous avons vu (n^. 808) que pour que le dernier imgle dea coor» données , ou TangTe ff(/0 , soit droit , il faut qu'on ait j9 < 2 et égal à 8 cas y. ^ Or ai le premier angle des coordonnée», ou Fangle y, était IuÎf^ même droit, on aurait cas y = o, et par conséquent pour que le second âo^le fikt aussi droit dans ce cas, il faudiaît que ^ fût nul ; ce qui s'accorde
> Jm
248 ^ aiSCUSSiON DE L EgUATION
avec ce que nous avons dit au n^ 310, que quand B est nul le diamètre HO' est parallèle au premier axe des a:.
Pour avoir le cercle , ou Tellipse rapportée à ses diamètres égaux , il faut (n°.308) que
substituant ici la valeur générale de **, prise dans (9), multipliant, réduisant, et divisant par 4, on trouve- cjue cette condition revient à celle-ci:
Mais pour avoir le cercle , il faut de plus que HO'O soit droit , ou que cos y z=:lB j d'où résulte pour ce cas C = 1. Toutes les fois donc que dan* (2) le coefficient C = 1 , que jB < 2 , et qu'on suppose d'ailleurs le premier angle d 3S axes tel que cos y^^ B^ Téquation est au cercle.
Si le premier; angle des coordonnées était droit, on aurait cosy = Oy alors il suffirait pour l'ellipse rapportée à ses diamètres égaux , que l'on eût C= I j5* + 1 ; mais pour le cercle , il faudrait -ff = o et C=: 1.
Pour avoir l'hjperbole équilatère rapportée à ses axes, ou à «es diamètres conjugués, il faut (n^ 309) que
substituant encore ici la valeur générale de $^ , prise dans (9) , nîultiplîant , réduisant, et divisant par 4, on trouve que cette condition revient à celle-ci :
Mais pour que l'hyperbole soit rapportée à ses axes , il faut de plus que ffCyO soit droit , ou que cos y = \B; d'où résulte pour ce cas C = 1 5* — 1. Toutes les fois donc que dans (2) le coefficient C = | i?* — 1 , que -ff < 2 , et qu'on suppose d'ailleurs le premier angle des axes tel que ca^y = |i?, l'équation représente une hyperbole équilatère , qui , après les tr'ansforma* lions indiquées, sera rapportée à ses axes.
Si le premier angle des coordonnées était droit , on aurait cos y = o , alors il suffirait pour l'hyperbole équilatère rapportée à ses diamètres conjugués , que l'on £Ût C = — 1 ; mais pour qu'elle fût enfin rapportée à ses axes , il faudrait que l'on eût 5 = o et C=î— 1.
313, Voici
