DANS LE CÔNE ET LE CTIINDRE
Dau8 le cyUadre droit ce diamètre constant n'est autre chose que le petit axe.
D'ailleurs si le plan 3/^4 '/n passe par le centime de l'ellipse, ce que Ton peut supposer, la double ordonnée MPm^ comme appartenant à l'ellipse et passant par son centre , est précisément la ligne 2d' ; mais cette ligne vaut 2r ou le diamètre du cercle ; donc elle passe aussi par le centre du cercle. Il en résulte que les deux centres coïncident. Or les centres de tous \q^ cercles parallèles à la base, sont sur Taxe du cylindre (n^ 297); donc les centres de toutes les ellipses coupées dans le cylindre sont aussi sur son axe. • ^
300. Si on fait dans (5) « = y , ou « = î, c'est-à-dire si on suppose que le plan coupant soit pai'allèle ou antiparallèle à la base, fig. 10 i , on aura sin « =±: sin B , la formule deviendra y* = 2rx -*- x^ ; équation d'un cercle égal à la base, et qui a aussi son centre sur Taxe.
Dans toute autre position du plan coupant, s'il rencontre les côtés opposés du cylindre , la section sera elliptique ; et comme le cylindre est indéfini vers ses bases supérieures et inférieures , le plan coupant , partant d'ùh point pris sur un des côtés, rencontrera toujours l'autre, à moins qu*il ne «e couche sur le premier côté. Dans ce cas on aurait « = o et la formule {B) donnerait y = o ; la section ne serait donc plus que le côté du cylindre.
301. Si on voulait que l'équation pût s'appliquer à une section faite parallèlement à l'axe , il ne faudrait plus que l'origine fîtt placée sur un des côtés, il faudrait la ti'ansporter sur la longueur de AB ^&^. 102^ pour pouvoir supposer que le plan MAm , tournant sur cette nouvelle origine , se
plaçât en effet parallèlement a Taxe. Or comme on a AB === -^-: , une
2ir sin /s .
portion de cette ligne pourra être représentée par — 7- — ^j i étant une
fraction quelconque. Faisant donc dans lequation générale,
, , 2ir sin B ,
sm « on obtiendra , après avoir supprimé les accens :
2r sin «^ sin^ «
t/* = 4*r»Cl — i> + — : (1 — 2i)a; : a^ ... (C).
^ ^ ^ ^ suit sin^ $
Gg2
2S6 SIGTIOlfS CONIQUEi
En supposant £ ,= o , on retombe sur l'équation (S) , comme cela dok être. En faisant t =: | , on trouve :
c'est réquatîon au centre. En mettant £ = 1 , on a ;.
2r siii ce sîn* « .
ce ^ prouve qu'en plaçant l'origine en 5 , il n'y a plus de section possible tant que x est pris en + ou compté vers la droite ; mais éa donnant à x des valeurs en — y ou comptées vers la gauche , on retrouve l'équation primitive. Du reste il en serait de même de celle-là en prenant les x à la gauche de Jl ou en — . Cependant , on peut encore satisfaire à cette dernière ea faisant x = c et y = o ; ce qui représente le point B. On pourrait aussi y faire sin « = o ; mais nous allons voir cela d'une manière gé^
nérale*
Dans tous les cas donc , si après^ avofr pris l'origine sur la longueur de AB, on fait tourner le plan MAm sur cette origine , jusqu'à ce qu'il 8< place parallèlement à l'axe , on aura «t^ = o , sin «. = o ; et l'équation (Q
deviendra :.
y = ±2r^iii — i) (£);
Sous cette forme elle représentera deux droites , placées sur la sur/ace du cylindre , parallèles entr'elles , et également distantes de l'axe des a: , situé, dans l'intérieur*
En fusant ici £ = o , on a 2/ = o ; c'est l'équation du côté gy. En faisant r= t, on. tfouve encore y = o; c'est l'équation du* côté ii. En faisant . . 1 = 1, on a y? = + r ; c'est l'équation des deux droites tracées sur la surface, quand le plan passe par l'axe; on l'obtiendrait aussi de l'équation au centre {/)), en y faisant simplement »=o. Et cela confinne la propriété de la section elliptique' ou circulaire d'avoir toujours son centre sur Taxe du cône ( n^ 299 ).
. Mais ce n'est là qu'un cas particulier d'une loi générale indiquée par la formule {E). Cette formule' prouve que la grandeur de «/ y lorque r est fixé , et lorsque le plan par Taxe est mené, ne dépend que de i, et en aucune manière de jiB. Ainsi donc si plusieiurs ellipses partent du point i4 , et ren-
BAKS LE c6NS\1:T )LB CYLINDRE. 237
contrent le côté >« dans des points difFérens , les fractions semblables , les moitiés, les tiers, les 'quarts, etc, de toutes les lignes AB se trouveront sur une même droite , parallèle aux côtés du cjlindre ou à son axe. Ce qui du reste est d'accord avec ce principe de Géométrie , que quand plusieurs droites partent d'un point, et rencontrent des parallèles, elles sont coupées par ces lignes' en parties proportionnelles ( Géom. Liv. III. n®. 20 ).
Prenons encore , pour terminer , un exemple particulier de la valeur de u Si 1 on a placé l'origine d'une section cylindrique , qui rencontre les deux, côtés du cylindre aux | de la ligne AB\^ et qu*on fasse tourner le plan coupant sur cette origine , pour Je placer parallèlement à l'axe , on trouvera ,. en faisant i==|, y==it:f''- Ainsi la double ordonnée qui joindra les deux, droiles parallèles^ sera les | du rayon de la base, ou les f du diamètre..
