SUPPLEMENT

TRIGONOMÉTRIE SPHÉRI^UE.

314. X ouT grand cercle de la sphère la partage en deux parties égales, qui sont des hémisphères.

Deux grands cercles d*une même sphère se rencontrent toujours, et ils ont pour intersection commune un diamètre de ce solide. Ils partagent ainsi la surface en quatre parties , renfei:mées chacune entre deux demi-circonférences 9 et que Ion appelle des fuseaux.

Si trois grands cercles , ou quatre grands cercles , avaient la même intersection , ils diviseraient la surfacç en six fuseaux , ou en huit fuseaux ; et ainsi de suite.

Mais si deux grands cercles, fonnant donc des fuseaux, sont rencontrés par un autre grand cercle, dont le plan ne passe pas par leur commune inter« section, ces trois cercles divisent la surface en huit parties, dont chacune est terminée par trois arcs , et que Ton appelle triangles sphériques. Alors chacun des arcs , qui sont les côtés du triangle , est plus petit qu'une demicirconférence , et les angles qu'ils font entr'eux sont tous ssuUans, comme dans les triangles rectilignes.

Si des quatre triangles situés sur un même hémisphère on en retranche un, les trois autres réunis forment encore entr*eux une espèce de triangle; mais celui-ci a un angle rentrant , et le côté opposé est plus grand que la demi-circonférence*

Cela posé , on nomme trigonométrie sphériquè la science qui enseigne à résoudre les triangles à angles saiUans , formés par des arcs de grands cercles sur la surface d'une sphère (voy. Géom. Liv. X. Ch, III,Trig.n'.70* Elle ne considère pas les triangles à angles rentrans parce que leur réso*

lution dépend évidemment de la résolution des autres.

li 2

352 TRIOOKOlf &TRII

On pourrait former au88i sur la surface de la sphère dës^ triangles qui au-^ rflîient pour côtés des arcs de petitSs cercles ; mais la trigonométi*ie ne les. considère pas non plus , soit parce qu'ils sont trop variables , soit parce queles astronomes , qui sont surtout appelés à faille usage de cette science ,. sont toujours placés au centré de la sphère , et par conséquent au centre, de tous les grands cercles.

3iB. Soit donc yiBC, fig. 104., ui> triangle sphérique , du genre dé ceux, que nous devons apprendre à résoudre^ les plans des arcs j^B ^ AC^ BC^ savoir GABy GACy GBC^ se rencontrant ^u centre (7 de la sphère» coupe* ront dans ce solide une espèce de j^ramide triangulaire GABC^ à base sphérique : les côtés AB, AC^ B€^ Avl, triangle sphérique seront les me* sures des angles plans AGBj AGCy BGC^ qui con^Qsent Taj^glë solidç G; et les angles!/^, ^>^9 que font entr'êux les côtés du triangle, seront égaux aux angles dièdres que font entr'eux les faces de lai pyramide. Si Fon mène donc dans le plan AGB la droite AE perpendiculaire à GA ^ efr dans le plan, AGC la droite A F perpendiculaire aussi à GA^ Tan^le plan FAEser^^ la. mesure de l'angle A du triangle sphérique. Et Ton pourrait faire la même construction, pour les angles B et C D'ailleurs AEyAF sont tangentes aux^ arcs i4^, ou c,. et AC ou 6.

3f6. Cela posé^ si Ton examine quelles sont les données- nécessaires pour déterminer un triangle sphérique, ou, ce qui revient au même, un angle solide trièdre comme G, on trouvera que sur- tes six parties que Fun ou l'autre renferme, il faut que trois au moins soient fixées, pour que le trian* gle , ou l'angle solide , ne puisse phis varier. Il en résulte que nous devons^ rechercher des formules où ces parties^ soient combinées, quatre à quatre ; ce qui nous donne à examiner les cas suivans :

1^. Un angle et les trois côtés.

2^ Deux angles et les deux côtés opposés»

â^. Deux angles et deux côtés dont l'un soit commun aux deux anglea^

•4^. Les trois anglça et un côté.

Formules pour le premier cas : un angle et les trois côtés.

317. Prolongeons les rayons GB^ GC , jusqu'à la rencontre et F des tangentes AE et AF, et supposons le rajon des tables ( feLyon de la sphère ,. nous aurons :.

en JT

tables égal au

JE =i tcmg c, GE = sic c^ AF =^ tang 6 , Gf^sséc b.

STenanl^eiifin EF ou ft^.let triàngfes rectilignes AEFyEGF^ donneront :

ft« = lang^b + tangue — 2 /a/igf 6 tang c cos A^ h^=:sêc^b + sëc^'C — 2 séc b séc c cas a.

Maintenant, si on retranche la première équationnié la secondé, en ob%&'-

rant que

séc^ b — tang* fr = R* = sec* c — tang* c ,,

faisant dé plus, pour simplifier, iî.= 1, siAstituant , transposant , et divisant par 2, on aura:

séc b séc c cos a-s: 1î+ tang ^b tang c cos A^,

Mais puisque. chaque tangente vaut le sinus sur le cosinus,, et que ehaque sécante vaut l'unité sur le cosinus , si on. substitue ces Taleurs,.et qu'on 'multiplie par cos b cos c ,. on obti^di*a.: ^

cos asscos b cos c + sin b sine cos A ;

.o>st la relation cherchée entre un angle et les trois cètés^ Oh en obtîéndiraK d'Analogues pour les angles^^ et C; ainsi Ton ar, sans un noureau calculs.

cos a.= cos b cas c+ sinb sin.c cos A ,.

cos fr= cos a cos C'+^sin a sin c cos 3^ ^ é . (^.

cos c= cos a cosb + sinasin à cas C.

Formules pour le deuxième cas i.deux angles, et' les deux' câtés opposés.

318. Dans les triangles rectilignes on a ^in^^-: aii.sinB : b::sih G: c^ voyons- si quelque chose d'analogue aurait* lieu pour les triangles^ sphéri<« ques. ^

On sait que sin A' = \/i — cos* A\ prenons dans (F) la valeur de c^5 A^^ élevons-laau carré, substituons, réduisons au même dénominateur les quan* tités qui sont sous le radical, développons le numérateur de la fractÎQn.quî en résultera, mettons-y 1 — cos* b à la place de sin*b, et 1 — cos^ c à la place de sin* c , multiplions , réduisons ,. et extrayona là racine du dénomir nateur , nous aurons :.

254 TRIOOlfOM^TRtl

^/r--- tfôj* a -« CM* J --- ë<?i* <j ■+• 2 eosacos b cas e

sinb 9inc

. Remarquant que le numérateur du second membre est une fonction symé* trique des trois côtés ^ désignant ce numérateur par la lettre /", et divisant les deux membres par sin a , pour que le dénominateur du second derienne aussi une fonction symétrique des trois cdtés , nous trouyerons :

sUiA f

sin a sin a sin b sine

^. .. 1 1. • tfin ^ sin C

Et comme on aurait la même valettr pour et pour — — ; comme on

^n b " sine le voit par la permutation des lettres , il en résulte :

sin A sin S sin C sm a sm smc

C*est*à-dire que dans tout triangle sphérigue les sinus des angles sont pr<h portionnelsi aux sinus des côtés opposés.

Voilà la relation cherchée entre deux angles et les deux côtés opposés.

Formules pour le troisième cas : deux angles et deux côtés ^ dont Tun

commun à ces angles.

S19. Pour avoir dans une même formule les deux angles ^ et JB, mettons dans la première (F) la valeur de cos b prise dans la seconde , substituons ensuite à cos^ c sa valeur I — sin* c , transposons , réduisons , et divisons par sin Cj nous aurons :

eos a sîne = sin a eos c eos £ + sinb cos A»

Maintenant, pour faire disparaître le côté 6, puisque nous avons déjà a et

c, substituons k sinb tA râleur en a, prise dans (^ , divisons ensuite p«r

cos a sin a, et mettons enfin cota kh place de --: , et c^< vl à la place de

sm a , '^

cos A

— : — ; • nous obtiendrons :

cot a sincsi çot A sin £ + cas c cos'S,

8PHÉBIQUE. 255

On pourrait trouver de même les valeurs de cot a sin bf de cot b sin a , de cot b sine y etc. ; ensorte que l'on aurait , comme on le voit sans calcul , et par la simple permutation des lettres :

cot a sin c =^ cot A sin S ^ cos c cas B ^

cot a sinb = cot A sin C + cos b cos C ,

cot b sina =z cot B sinC + cos a cos C , ^ , jv

cot b sin c = cot B smA + cos c cos -^ , ^ * "

cot c sina ^=^ CQt C sin B + cos a cos B ,

cot c sinb =s cote sm A + cos b cos A.

C*est la relation cjierdiée entre deux angles^ et deux édités , dont un est commun à ces deux angles^

Formules pour U quatrième cc^ : &s trois angles et tm cdtèK

320^ Reprenons la prnaière équation da nimâro précédent :

eos a sin c = sin a cos e cas B + sin b cos Ai

elle nous donnera, en changeant a tac^ A en C\ et réciproquement i

eos c sina =i sine cas a cos B + sinb cas C

substituons te second membre de cette demiàre (ormute. à l'a place de • •' ^ ski a cos c dans Tautre , puis mettons 1 ~* sin* J? , à la place de co^ B^ transposons 9 réduisons, et divisons par sin b^ nous aurons :.

sin c cas a -: — r sin'^ B =5 cas B casÇ +^ casA^ sma ^

>. . sin c sin C

Mais -: — - =5 -: — -, comme on le voit par ( JT); substituons œcore oetto smb sinB r v /^

' valeur 9 réduisons, et transposons, nous trouvions ei^n :

^^cos A =5 cas. B casC '^ sinB sinC cas a.

On obtiendrût é^demment de« râleurs analogue pour <~ ccii JBdt'^eQsC^ ensorte qu'on a 2 «an» autre calcul ;

266 TRXGONOBïéTfilC.

— cas A = tfM B cos C — ^m B sin C cas a, ^

— cos B = cos A cos C -^ sin A sin C cos ô, > . • • (JZT).

— cos C = ço^ jC c(75 b — '^in^ ^m -ff cos c.j

C*e6t la relation cherchée entre les trois angles et un côté.

321. On remarquera que pes formules ressemblent tout-» à ^ fait fiinc for<> mules (/0> elles résultent de celles-là en y changeant les petites lettres en grandes lettres et réciproquement; en changeant de plus les signes de tous les cosinus^ et conserva^ ceux des sinus. Les formules < /^) deviennent donc les formules (Z) et réciproquement, en y mettant à la place dés côtés les supplémens des angles j et A la place des angles les supplémens Aes càtH.

Ayant donc un .premier triangle sphérique^ si Ton en constnusoit un second qui eût n^eç t;dui-là les reliions indiquées , toutes les propriétés qui seraient relatives aux côtés <le Tun appartiendraient aussi aux supplémens des angles de l'autre , et toutes celles qui seraient relatives aux angles da premier appartiendraient aussi aux supplémens des côtés du second. Or on forme ce triangle accessoire , qu*on appelle supplémentaire ou polaire^ en joignant par des arcs de grands <:ercles lespdles des côté^ du triangle principal <*); et prenant pour chaque côtétm de ses deux pôles^ 'savoir celui qui est situé de même part que le sommet de Tangle opposé.

332. Ainsi donc lorsque nous aurons tiré de (F) quelque nouvelle formule, si pous substituons aux côtés les -suppléaiens des angles opposés, et aux angles les supplémens des côtés .opposés , nous ^aurons ia formule an»* logue qu'on pourrcut tirer de <^).

323. Recherchons maintenant les {)ropriétés des triangles sphériques , et considéron^les d'abord sous le point de vue de leurs oôtés , puis sous celui ^e leurs angles , et enfin sous «elui de l'influence des côtés sur les angles et des angles sur les côtés.

•^'^mmr^m^mmmÊ

(*) Les pâles d'un grand cerole sont les deux points de la surface de la sphère '^i sont à 100* de chaque point de la cicconférence de ce cercle Us sont les extrémités de l'axe jperp^tdiculaire au plan de ce même cercle.

Pr(^iétés

flPBÉRIfiUE. ' 2&t

propriétés dei 'triangles sphériques ; 1*^, Relativement à leurs côtés.

S24. Nous savons déjà que chacun de ces côtés est toujours plus petit qu'une demi-circonférence (n^ 314); voyons ce que nous dirait lalgèbre, 14 on voulait supposer un de ces côtés, comme a, égal à 200**.

Si a = 200® , on a 5in a == o , et cw a = — 1 j «^lors lea trois formulea ( D donnent ces deux-ci ;

.!— . 1 == CQS b cas c + sin b sin c cos A^ cos ô = — cas c^

Cette seconde équation prouve que, dans ce cas, les côtés b ^t c seraient supplén\ens Tun de l'autre ; d'où résulterait sin b = sin c. Substituant ces. valeurs de sin b et de cos c dans l'équation — 1 = etc. > et mettant » « ^ 1 ym cos^ c kldk plaçQ de; siri^ e , on trouverait :

cos^ c — 1

€OS A = ■ — =3S — t.

i — CQS^ C

On aurait donc A = 200* , et les côtés ô et e ne feraient qu'un seul et mênae arc. Le triangle dégénérerait en fuseau^

326. Puisque chaque côté est plus petit que.20a®, ta somme des trois côtés est toujours au-dessous de 600®. Bien plus., il résulte du Th. XIV du Liv. VI de la Géométrie, et de ce quç nou$ avons dit au n®. 314, que cette somme est toujours plus petite qu'unç circonférence entière, et que chacun des. côtés vaut moins que les deux autres pris ensemble.

326. La même chose se prouverait par TM^^yse. La première équation? {F) donne ;

^ ^ cos a -^ cos b cos c

€QSA:X'. . , . i

sm b sin c «

retranchons ses deux membres de Funîté, et réduisons aii même dénomfc^ / nateur les termes du second , nous aurons :;

icos b CQS c+ sîn b sin c^-^cos ck

i— • QOS A

sin b sin c

cos (b — c> — cos a ,

uah swQ

258 THIOOKOMéTBlS

sin b siti g On trouverait tout mm facilement :

cos a --* ( ces h cas e — sin h sin e)

i + cosA

Nii^iM»i^PBtaB**a^>Bi^^^»^Bi'*^»VW"*V*«W<M><«*'***«>«*iV

sin b sin c

2sinl(b + c + a) sinl(b + c^ a)

sin b sin c

Maïs 1 — cos A=::2sîn^iA,ti 1 + C0^ilaa2 COT*|^, [(H)n\90]; doù il résulte que Ton a, en appliquant le même calcul aux deux autres équations (F): "

sin b sine sin'^l Azstsin{(a + b — c^sinKa + e

sin a sin c sin^i B =1 sin l Cb + a — c) ^in | (6 + c — a) J .... (fe).

sin a sinb «n*| C^=^sîn\ ic + a — 6)«n|(e + 6

sin b sin c cos^ | ^4 == 5În |(a + * + c) sinUb + c

sin a sin c cos^lB = ^m|(a + &4-c)^in5(a + ^ — b) v .... (/).

sin a sin b cos^l C=«n5(a + è + c)«n|(a + 6

Cela posé, puisque chaque côté a toujours moins de 200^ , lé premier membre do dhacune de ces équations est essentiellement en plus ; donc les seconds membres sont aussi en plus ^ et les deux sinus qu'ils ont pour facteurs sont , ou tous deux en plus , ou tous deux en moins.

Arrêtons-nous aux formules < / ) , sî l'on y faisait a + ^ + ^ =^ 400^ , on aurait |(a + ft + ^)= ^00' > et 5m | (a + ô + c) = zéro ; ainsi les premiers membres se réduiraiejit aussi à zéro , ce qui ne pourrait avoir lieu qu'en faisant quelque côté nul ou égal à 200^ , suppositions également imposa sibles ; ou en faisant | -4 =a 100*, 15= 100% | C = 100^ et par conséquent A = 200**, B =s 200*, Cita 200**, ce qui est encore impossible (n**. 315).

Si l'on faisait a + b + c > 4ô0, on aurait \{a+ b + c^ > 200 ; mais i(a + 6 + ^)< 300; donc sinl ia + b + c) serait en moins ^ et par conséquent aussi ^ d'âpre -ce que nous Venons de dire , sinl{b + c — a)» sin\{a + b — c), sinl (a + <? — b). Dans ce cas les arcs répondant à ces sinus seraient ou plus jgrands que 200, quoique moindres que 300, ou ils seraient négatifs. Qt ^J |<6 + c — a) > 200 , on a ô + c -* a > 4oo ;

cependant & + c < 400 , donc on ne peut avoir b + e — a > 400 , et de même pour les autres ; car ayant pris 1^ côtés comme positifs , dans la po^ sition où Us sont , aucun d'eux ne peut être eii même tems négatif. Ainsi les

arcs des sinus seraient en moins j et Ton aurait :

Ajoutant ces inégalités deux à deux, et retranchant de part et d'autre les mêmes lettres, on trourerait ti < o, 6 < o, c < o; ce qui est absurde, par Tobservation que nous venons de faire sur les signes des côtés. Donc enfin dt + 5 + c < 400^

327. Puisque a + *4-^ < 400*, | (a + 6 + c) < 200^; d'où il résulte <]ue sinl(a + b + c) est en plus^ et que les sinus des seconds ûicteurs aont aussi en plus. Donc

Réciproquement si ces inégalités ont lieu , les sinus des seconds facteurs étant en plus^ cas À^ cas B^ et cos Cf seront toujours possibles, et on' pouii-a former un triangle sphérique avec trois arcs valant ensemble moins de 400"" 4 et tels que chacun soit plus petit que la somme des deux autres.

Propriétés des irïangles sphériques :

2^ Relativement à leurs angles^

'd28. résulté de ce que nous avons dit au n^ diiS) qUe chaque angle id'un triangle sphérique vaut moins de deux droits , et que par conséquent les trois ensemble valent moins de six droits ; voyons donc si leur sonmie ne «erait point égale à deux droits , comme dans les triangles rectilignes.

D'après l'observation du n®. 322 , nous pouvons tirer de (k) et de (/) les formules suivantes ; que l'on conclurait aussi de iZ) par un calcul semblable à celui du n''. 326 :

sinBsin C cos^ la=:coslCA + B — C)cosl(A+ C

sînAsinC cos'^lb = cos ICB^A—^ CycosKB-^ C— .iJ)J , . (m).

sin AsinB cos^ lc = cosl(C+A —. B) cosl(C + B

sinBsinCsin^ia = -^coslCA + B'^C)cosl(B+C sînAsmCsin^lb='-^cosl(À + Ê + C)cosi(A + C^B)} . . {n\

smAsinBsin^\c=: — cosliA + B^C)cosl(,A + B

260 TRIGONOMÉ tRIB

£t puisque chaque angle a toujours moins de 200^^ le premfer membre chacune de ces équations est en plus ; donc si Tun des^ facteurs des seconds, membres est en plus » l'autre ^ abstraction faite du signe général ^ est en moins , et réciproquement.

Arrêtons-nous aux formules («);. si Ton y faisait -^ + 5 + C=:200^, on aurait | (^^ + -5+ C) = 100"*, et le cosinus de cet arc serait nul; ensorte que les premiers membres de (ji) deviendraient nuls , ce qui ne pouiTait avoir lieu qu'en faisant quelqu'angle ou cdté nul ou égal à 200*^ suppositions également impossibles.

Si l'on faisaU A + B+C<: 2«0^ , on aurait |( ^ + ^ + €).< loo^ , et k cosinus de cet arc serait en plus y les cosinus de | (^ + C — A) ^ de . •ï (i4 + ^ — Cy^ et de I ( ^ •+- C — B) , seraient donc en moins ^ et ces, arcs seraient chacun plus grands que 100^ Mais si^ Ton a, par exemple ^ |(^ + ^— C) > 100*", à plus forte raison aura-t- on JC^l + A+ C) > 100°;: ce qui est contraire à l'irypothèsei

Donc les trois angles d'un triangle sphérique valent ensend)le phis de deux angles droits, et moins de six*.

Il s'agit de voir maintenant si l'inverse dé cette proposition t%t vride. Ayant ^4 + ^+ C > 200 et < 600, il en résulte |(il+ 5 + C) > lOOi et < 300 ; ainsi — cos |' (^ + ^ + C) est toujours enH— Cela posé , pour que le triangle soit impossible , il suffit que cos \ ( -ft+ C — ^ ) , par exemple, soit nul ou en — . Oxr puisque |(-4 + -ff+ C) < 300, à plus forteraison i (^+ <?—^) < 300. Ainsi en faisant l*. co^|(i?+ C—A):=zo^ ona|(-ff+C — ^)=100^,.et 5 + C-f-^ = 200 + 2^. En faisant.. ^

2^ cosliB+C^A) en — , on a | ( A+ C — ^) > tOO* et

'J5 + C + -4 > 200 + 2 A. On voit donc qu'avec trois angles valant plus de. deux droits et moins de sbc , on ne peut pas toujours faire un triangle sph6-jique..

Propriétés des triangles sphériques:

'$•. Relativement à Vinjluence des côtés sur les angles^' et des angles suir^

les côtés..

329. Nous allons chercher à résoudre ks triangles sphériques , et nous; apprendrons par là quelles wnt les données nécessaires pour les déterminer (n\ 316;,