Etant dàmiés^ les trois côtés , trouver les angles

On peut tirer immédiatement de (^F) les valeurs de cos A , cos B\ cos C, exprimées exiay by c; mais sous^ une fonne qui n*est pas propre au calcul liogai'ithmique.

Prenons donc , au lieu de cela , les formulés (k) et (/) , qui n'ont pas cet inconvénient. Elles nous donneront sans calcul, en rétablissant le rayon &

sml A= -ff Y •

sin l B

\J sm ^(a-jro--c)sih^( a + c — ù) V '' sin b sin c t

^\/ sini(b'ira—cysinlCb'tc—'^ [ ^

sm a sm c

sin i C== S

sin a sm b

, ^ ^ A/ sm^ (a+b + c^smlCb + c — a) * ^ sm b sm. c

MslB^Ey i-^ — ' . ^ ■ ^> .. (2>.

sut a sin c

cos î C

A/ sin { ia + b + c) sin | ( a. + ^ — b)

sin ^ ( a + b + c ) sin lia + b -^ c y

sin a sin 6.

(*) Lorsqu'on^ fait quelque calcul avec le rayon 1 , pour rétablir lie rayon 22' dans réquation ou la formule qui est le résultat de ce calcul, il suffit de mettre- Rj ou R^ j ou 72', etc., comme facteui dans le membre où il 7 en a le moins , €t de manière que les deux membres, débarrassés de leurs diviseurs et de leurs xadicaux, aient enfin le même nombre de facteurs. Si Ton a, par exemple , . .. X = \/ja, d'où Ton tire cda^ = ab j on écrira Ci&* = R*ab ^ ou. a; =: î? \/-^ (voyez la raison de cela au n^ 41)^.

262 TaiGONOMéTftIB

Divisant enfin les formules (1) par les formules (2), on aura celles-ci (n\ 86) : ^

tcaiglA^R y siniCa + b + c) sinl<ib + c^u)

tang^B^R y siniÇa + b ^c) sinkja^c^by r ' ^^>

\/ ^in |( c + 6 — g) A'én |(c + g — fr j tang^CsR y «n| (i* + A +c) **n|(g + * — o)

33 !• Du reste, qiiand on a calcfulé un des angles ^ on peut faire usage dea formules C JT) pour calculer les autres ; si du moins Ton n'a point de doute sur l'espèce de ces angles. £t ces formules n*ont besoin d'aucune préparation pour remploi des logarkhmes^

332. Observons qu'il ne peftt point y avoir d'ambiguité dans les râleurs des sinus, des cosinus , et des tangentes, données par (1), (2), et (3); car les angles -4, 5, C, ne pouvant ni égaler, ni surpasser 200*, \ A^^B^ I C^ seront toujours aigus ; ces angles d'sûlleurs. ne peuvent pas être prif en moins. Ainsi un triangle est déterminé par ses trois côtés.

333. Si les trois côtés étaient supposés égaux les formules donneraient la même valeur pour les trois sinus, ou pour les trois cosinus, ou pour les trois tangentes; ainsi les angles seraient égaux.

Si deux côtés seulement sont égaux , les formules font voir que les angles opposés à ces côtés égaux sont égaux.

Enfin si l'on suppose g > 6 , pour comparer plus facilement A et B^

nous commencerons par tirer de (3) ce rapport général , applicable à tous

les cas :

tang | A ^m|(c + g — 6)

tanglB «m|(c + ô — g)*

mais puisqu'id g>ft, onac + g — 6>c + 6 — g; d'où il résulte . > «n î ((? + g — 6) > 5w 1 (c + * — g) (n^ 325), et tangiA > tanglB. Ainsi quand deux côtés sont inégaux , un plus grand angle est opposé au plus grand côté.

334. Si un des côtés comme a égale 100', on tire immédiatement de (^) > en rétablissant le rajon R^ les formules suivantes , qui conviennent à ce cas, et qui sont plus simples que (1), (2) , (3) ;

SPHÉBIQUS. 263

cet h col . ^ jR cas k ^ R cas û

êosAzZ'^ y^ ' * • • cas B=i. —, •. ..^ cos C == — : — ;— • ; . • (-4). )

R sine ^mb

Alors 81 le côté b était aussi de iOO% on trouverait cosAsnOj cas B=o^ cas C=zco$ c; d-où, Fon conclurait A = 100* , B=: 100% et C=zc. C'està-dire que si UH triangle sphérique a deux côtés égaux au quadrant , Ijes^ ^fcngles opposés, sont dbroits y et le troisième an^le a, le mèwe nombre de degrés que le troisième côté.

Si les. trois côtés valaient chacun^ \m quadlrant, on aurait cas A=^ o.^ cos B zr=iOy cos G =^ Oy et par conséquent les angles, Ay B^ C, seraient droiils tous trois.

335;. Les dtux dernières formates (4^ , étant écrites ainsi :

ski e cos -ff =3 R cos by sin b cos C =:Rooso^f^

ttotts fbumissent une observation: importante : les sii^us dfi b çt de c ne poit!^ vaiot être nuls^, et ne pouvant pas non plus ètx^ Qvtrjnoin^ ^ tout comme R qui est aussi un sinus:^ on voit que si cos B=z o, o» a cos-b= o,. quç si cos B est eix phis QM^cxLmoins , on a cos b en plus ou. en. moins i, et de* même pour cos C et cos c.

C'est-à-dire que si: un triangle sphérique a un côté de liOfO^, chacun d^s autres est de même espèce qiue Tangle qui lui est opposé ; sayoîi; y, ou .^ ..

^. 100% OR < tOO% ou > lOOV

$jrCOND CAS/

33&. Etant donnés lès trois angles , trouver Us côtéSé

Au lieu; de tirer immédiatement de {Z) les valeurs de ces côtés^, ^pre-^

nons^les dans, les formules (m) et (ji) ; elles nous donneront , en. rétablis-.

sant le rayon R :•

^ sin B. sin C

^ sm A sut C

y,\/cos i ( G+ A^B) cosiiC-hJr^A)

coslc=iR y 1 ^. ■ ■ -

sin A sinB

2Û4 TRIOONOMÉTBIE

V^T ^I iA + B^C)cosl (B-+- C— AT "" sin B sin € "

\/^c osHA.-hB+C)cosl(A + t'-B) [ sm j » ^* ^ smA sinC l

sin I <?

' svn A sin € i

V — cosjCA + B+C)cosl (A + i?-^ l «n A sinB TJ

•••* » ' sm A sm a . j

Et w on divi«e les formules (5) par les formules (6) on obtiendra (a*. 85).

notla^R y „cos\(,A-^B'krOcos\

cotlh

V cos\iB-3r A— C) co5\{,B-k-l.^A) y tu CQS \ {C -^^ B — A) côTÇ

COt\c-^R y ^cos\iA + B->(-Qcos\{A'\'S—C

337. Du reste , quand on a calculé un des côtés , on peut calculer les autrès par les formules ( JT); si du moins l'on n'a aucun doute sur l'espèce de

ces côtéa.

338. Remarquons bien que les valeurs des cosinus , des sinus , et des'co-

tangentes , données par (5), (6) , et ( 7 ), ne peuvent être prises qu'en ^Aaf, parce que chaque côté étant plus petit qu'une demi circonférence, sa moitié ne vaut pas un quart de circonférence. Ainsi un triangle sphérique est déterminé par ses trois angles.

339. Si les trois angles étaient égaux , on trouverait par les formules que les trois côtés seraient aussi égaux. Et si deux angles seulement sont égaux on voit que les côtés opposés à ces angles égaux sont égaux,

Enfin si l'on suppose A^ B^ tirant de ( 7 ) ce rapport général :

cot\a cos\{C'\- A--B)

€Ot\b "" cosUC + B^aY

nous verrons que puisque -4>-5, ona C + -4 — ^> C+ B—'A; d'où il résulte (*) cosl(C + A-- B) < ca^ | ( C + ^ — ^ ) , et par conséquent

MMMMMMB^BHHI^MHMto

(*)Oaa,parlen*.328,^ + 5+C<200+2^,cequidonncï(C+B— ^;<100.

Oa a de même w^ + 5 + C < 200 + 25 ctî (^ + -^-. jB;< 100.

cot

SPHÉBIOUE. 265

i^otl a < cot I &, eiî a > ô. Ainsi quand deux angles sont inégaux, un plus grand côté est opposé au plus grand angle.

340. Si un des angles, comme A y £8t droit, on tire immédiatement de {Z) j en rétablissant le rayon R , les formules suivantes , qui conviennent à ce cas, et qui sont plus simples que (5), (6) , (7) :

cot B cot C j ^ ^^^ ^ H cosC

i:os a == =^ . - cas b =3 — : — — ^ . cas c=z — r— ^- . • (8).

jB sm C sm b

Alors si l'angle S était aussi droit, on trouverait cos a = o, cos ô = o, <cos c = cos C\ d'où Ton conclurait a = 100 , ft = 100 , et c = C. C'està-dire que si un triangle sphérique a deux angles droits les côtés opposés «ont chacun de lOO''; et le troisième côté a le même nombre de degrés que le troisième angle ( n®. 334 ).

Si les trois angles étaient droits , on aurait cos a = o , cos 6 = o , . • . cos c = o, et par conséquent a == 100®, b = 100*, c = lOO'* (n®. 334).

341. Nous n'examinerons donc plus les triangles qui ont deux ou trois côtés de 100*, ou ce qui revient au même, deux ou trois angles droits,

342. Du reste , les deux dernières formules (8) étant écrites ainsi :

sm C cos b^=iR cos B , sin B co^ c=:R cos C^

nous fournissent une observation analogue à celle du n*. 335 ; c'est que si un triangle aphérique a un angle droit, chacun des autres est de même espèce que le côté qui lui est opposé; savoir ou = 100® , ou < 100*^ ou > 100®. '