Si l'angle B est droit , (41) donne
H sin c sin b = .■ ■ . . . (43) ;
ce qui ne détruit pas l'indétermination.
Si c'est l'angle C qui est droit , Ton a :
sin B sin c ., ,^ sin b = . . . (44) ;
et dans ce cas Tambiguité cesse par le n\ 342. (Voyez n^ 341).
376* Connaissant encore B ^ C, et c , pour trouver immédiatement a , on prendra les analogues de (12) , api^quéea à la recherche de Cpar a» c, et ^, savoir :
tang c cos S cot B sin (flt-^*>
t(Ut0 9 = • • • CQt C
jR - sin
Mm 2
276 TRIGONOMJÈTRIK
et sans toucher à la première, on considérera ^/n (a — ^) comme Vkk^ connue de la seconde, ce qui donnera ;
tang c cos B , - . cot C sin9
tang == — p • . . ^in (a — ♦) == -— — . . ; (45) ;
it col M
et le triangle , en général , sera indéterminé.
377. Si le côté c = 100*, on tire de (45), ou de la quatrième formule
tang B cot C ,,^,
cos a=i'-- ' — 2- . . , (46) ;
et il n*y a point d'ambiguïté.
378. Si Tangle B est droit; (45) donne m a = §; mais on obtient par la quatrième formule (F) :
tang c coi C sm a = — 2-- . . , (47) ;
valeur indéterminée.
Si c'est l'angle C qui est dx-oit , on tire de (45) ou de^ la quatrième formule (7):
tang c eos B tang a = . . . (48) ;
et le triangle est déterminé.
(Vojezn*. 341).
Quelques remarques sur ce qui précède^
379. Nous venons de voir que les triangles sphériques se résolvent par des formules plus simples , quand il& ont un côté égal au quadrant , ou un angle droit. Or il y a encore un caa ou deux que Ton peut ramener à ceux-là.
Coxmaissant deux côtés d'un triangle , s'ils aont égaux les angles opposéa sont aussi égaux, et réciproquement connaissant deux angles, s'ils sont égaux les côtéa opposés sont de même égaux ( n^. 333 , 339 )• Le triangle est alors isocèle^ et si de son sommet on abaisse sur la base un arc perpendi* culaire, le triangle sera divisé par cet arc en deux triangles rectangles qui auront l'hypoténuse égale , un côté commun , outre encore un angle égal ppposé à cç côté commun. Or ces données sont plus que suffisantes pour
é PHiBifiuE, 277
déterininer Tégalité de ce» triangleê comme on peut le voir par les n^*. 362 et 372. Donc la perpendiculaire divise la base du triangle isocèle et l'angle du sommet , chacun en deux parties égales. Et par conséquent les triangles isocèles peuvent se résoudre comme les triangles rectangles.
380. Supposons encore un triangle sphérique dont on connaisse deux côtés , et que leur somme soit de 200® ; si on prolonge le plus grand de ces côtés , de même que le troisième , jusqu'à leur rencontre mutuelle , ils formeront un fuseau, (n*. 314), qui contiendra d abord le premier triangle proposé , et ensuite un second triangle formé par le second côté du premier triangle et les prolongemens de ses deux autres côtés. Or il est évident r. que ce second triangle est isocèle, 2®. que si ses élémens sont connus, ils donneront ceux du premier triangle, par les rapports qu'ils ont avec ceux-là. On voit donc qu'on peut ramener à la résolution des triangles isocèles, et par conséquent à celle des triangles rectangles, la résolution des triangles dont deux côtés valent ensemble 200*. Il en serait de même de ceux qui ont deux angles valant ensemble 200'; car il est facile de prouver que si deux angles sont supplémens Tun de l'auti'e , les côtés opposés ont la même propriété.
Si u4 + £=^ 200, -^ = 200 — ^, et par conséquent ...:.....: sin A ^= sin i 200 — £) = sin B. Cela posé , la première formule (5) et la seconde formule (6) ont sous le radical le même dénominateur. D'ailleurs le second facteur de leurs numérateui's est aussi le même ; comparons donc leurs autres facteurs,
cosl{A + B'^C')T=z cas x (200 — C) = cos (100 — | C) ;
^ cas l(A + £ + C)=z --^ cos 1(200 + C) — — cos CiOO + 1 C);
or 100 — I C et 100 + I C sont supplémens Tun de l'autre ; donc lea facteurs en question sont égaux. Il résulte de là que cos f a = sin 56, ou que I a + 1 ^ = 100, ou enfin que a + 6 = 200.
381. Nous voyons de plus en plus que toutes les propriétés des triangles sphériques peuvent se conclure des formules qui servent à les résoudre. Meus cette matière est fort étendue , et nous avons vu tout ce qui essentiel. Reprenons cependant encore la première formule ( ^) , et supposons que l'angle A soU droit , nous aurons
cos arszcosb cos c^
278 TKiGOtîOMéTRiE.
De là il résulte que si 6 et c sont tous deux < 100, ou tous deux > 100 ; leurs cosinus ayant le même signe , celui de a sera en + j et Ton aura dans ces deux cas ^z < 100. Maïs si des deux côtés 6 et c l*un est aigu et l'autre obtus- le cosinus de a sera en — et a sera obtus. Enfin si un des côtés 6 et c vaut 100, ou si chacun d'eux a cette valeur, on aura cos a = o , et a == 100. ,
Ainsi donc , quand un triangle sphérique a un angle droit , si les côtés de cet angle sont moindres ou plus grands que 100, l'hypoténuse est plu» petite que 100; si l'un est plus petit et l'autre plus grand que 100, l'hjpoténuse est plus grande que 100; et si un seul ou tous les deux valent 100 , Thjpoténuse vaut aussi 100.
On peut Voir par ^Z) quels résultats on obtiendrait en supposant a = 100*.
382. Observons enSn , pour terminer , que les triangles rectilignes ne sont qu'un cas particulier des triangles sphériques j et que les propriétés de ceuxlà résultent des propriétés de ceux-ci ; c'est ce que nous allons développer ; toutes les remarques qui tendent à généraliser les idées offrant toujours un grand intérêt.
Quand le rayon d'un cercle est 1 le demi-quadrant égale 0.79 (n*. 97); «insi en disant que la tangente de dO* égale le rayon ou 1 , c'est comme si l'on disait que la tangente de 0.79 égale 1 ; et de même pour toutes les lignes trîgonométriques répondant à des arcs quelconques. Nous pouvons donc supposer que dans tous nos calculs, les lettres «, &, c,- au lieu de représenter les grandeurs relatives des côtés, exprimées en degrés, désignaient les grandeurs absolues de ces côtés , le rayon de la sphère étant pris pour unité.
D'ailleurs quand les triangles sphériques, tracés sur des spières différentes , sont équiangles entr'eux , les arcs qui leur servent de côtés sont proportionnels aux rayons des sphère» (grandeurs absolues).
Soient donc a , 6 , c , les côtés d'un triangle sphérique tracé sur la sphère dçnt le rayon est 1 , et «, 5, y, ceux d'un triangle semblable tracé sur une sphère dont le rayon est r , on aura :
i : r II a : m:=: ar^
i : r :: b : B zz br^
donc
i : r :: c ; y ^ cr:
SPBÉRIOUB. 279
Cela posé , si Ton substitue ces valeurs , à la place de a , & , c, dans les formules relatives aux triangles sphériques , qu'on réduise en séries les va-» leurs des lignes trigonoméU'iques, et qu'on rejette les termes qui s'évanouiront par la supposition de r = | , on aura les formules relatives aux triangles rectilignes. Car quand le rayon d une sphère devient de plus en plus grand , la surface de cette sphère tend de plus en plus à devenir plane. En d'autres termes , le plan est la limite de la sm-face sphérique.
Prenons , par exemple , la première formule (Z) ; elle devient d'abord :
— cos A = cas B cas C — sin £ sin C cas - ; et comme on a d'ailleurs (voyez Marie ^ ou Legendre Trig. n^. xxxiv) :
si on substitue cette valeur, qu'on fasse ensuite r = i, ou f = o, on n'am-a plus que:
— * cos A = cos B cos C — sîn B sin C;
ou, ce qui revient au même [(7) n^ 88] :
—• cos A = cos (B + C).
Donc A ttB+Cy qui ont des cosinus égaux et de signe contraire, sont supplémens l'un de l'autre, et l'on a :
Ab2 droits^ (B+ C), on A + B + C= 2 droits.
C'est-à-dire que les trois angles d'un triangle rectiligne valent ensemble deux angles droits.
Par exemple encore, dans les triangles sphériques (n®, 318) :
sin a sin B = sin b sin A y ou sin - sin B = sin - sin A :
mais on a d'ailleurs :
sm - = - — . - ^ ■ + etc.
280 TRIGONOMÉTBIfi SPHÉBIQUE.
substituant ces valeurs y multipliant tout par r , et faisant ensuite ^ ^ § , ou I = » on obtiendra :
u sin B '=z R sin A, ou « : ^ : : sin A : sin B,
C'est-à-dire que dans les triangles rectilignes , les sinus des angles sont pro* portionnels aux cotés opposés ( voyez les observations du n^ 103 ).
Etc, etc.
