PRÉFACE

^ ) uAND les premiers mathématiciens, après avoir atteint les bornes de la géométrie élémentaire , ont voulu s’élever jusqu’aux problèmes de la géométrie transcendante , quand après avoir épuisé tout ce qui a rapport à la ligne droite et au cercle , ils ont passé à la considération des courbes de ditTcrens genres, ils ont eu besoin, pour avancer dans celte carrière, d’une force d’attention extraordinaire , et leurs progrès ultérieurs ont fait preuve, et de leur esprit inventif, et des ressourecs de lem' génie.

Mais lorsque l'algèbre eut pris naissance , lorsqu'on eut enfin conçu l’idée heurense de l’appliquer à la géométrie, lorsque Fitle et surtout Descartes, ces deux hommes à jamais célébrés , eurent frayé cette route nouvelle, loi'squ’on vit le calcul, au moyen de quelques formules, mettre en évidence la nature et les propriétés de toutes les courbes , alors les questions résolues par les anciens avec tant de peine et de travail , ne furent plus qu’un jeu pour les modernes ; alors la science fit des pas si rapides qu’on ne peut SC lasser d’admirer la fécondité de cette grande et belle invention.

Comment serait - il possible de préférer encore la marche des anciens à celle des modernes ? Ce qui a été démontré d’après leurs procédés porte peut-être avec soi un plus grand caractère d’évidence, mais en revanche chaque vérité se trouve alors isolée en quelque sorte , séparée de toutes celles qui ont quelque rapport avec elle. L’analyse algébrique a non-seulement plus de puissance et d’énergie que la synthèse , mais elle a encore plus d’étendue et plus d’ensemble ; c’est le coup - d’ocll du génie , qui rassemble, qui généralise, qui voit les rapports des choses enü’elles, qui en fait un tout , et se l’approprie. Aussi , faut-il l’avouer , quand on est familiarisé avec elle, il est besoin de courage et de patience pour se résigner ' *

à sulrre les anciens dans tous les pas qu’ils ont voulu faire au delà des pre» miers élémens. C'est moins pour connaître les résultats de leurs travaux qu’il faut les étudier , que pour observer leur marche et apprécier leurs efforts.

“ Le rapprochement de la géométrie et de l'algèbre , dit M'. La Place dans le Journal des Ecoles normales, répand un nouveau jour sur ces deux sciences; les opérations intellectuelles de l’analyse, rendues sensibles par les images de la géométrie , sont plus faciles à saisir plus intéressantes à suivre. Cette correspondance fait l’un des plus grands channes attachés aux spéculations mathématiques ; et quand l’observation réalise ces images , et transforme les résultats mathématiques en lois de la nature ; quand ces lois , en embrassant l’univers , dévoilent à nos yeux ses états passés et à venir ; alors la vue de ce sublime spectacle nous fait éprouver le plus noble des, plaisirs réservés à la nature humaine

Cependant, malgré les travaux des Descartes , des Newton , des Euler , des Cramer , et de plusieurs autres grands géomètres , les ouvrages élémentaires du XVIII'. siècle, sont restés, pour la plupart, vraiment audessous du progrès des lumières : quoique leurs dcmonsti'ations reposassent sur l’algèbre , elles étaient toujours plus ou moins bornées au cas particulier que l'on avait sous les yeux ; et la marche des modernes perdait ainsi son plus précieux avantage.

Enfin M". Lagrange, Laplace, Monge, et quelques autres mathématiciens du premier rang , appelés dans la chaire des professeurs , par le progrès des idées libérales , ont produit dans ce genre la révolution la plus, nécessaire et la plus heureuse.

J’aurais donc pu sans doute adopter pour mes cours quelqu’un des ouvrages qui ont paru dès lors sur l’application de l’algèbre à la géométrie ; mais il n’aurait point été calculé sur la portée et sur les besoins des étudians de notre académie; il n’aurait surtout pas été en rapport avec les divers ouvrages élémentaires que j'ai déjà publiés, et qui sont depuis long-tcms entre les mains de ces jeunes élèves. Ainsi [e me suis vu forcé de travaillcjc

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wir un plan neuf, et qui m'a paru d'ailleurs olllir quelques avantages assez marqués. On en pourra prendre une première idée en jetant un coup-d'oeil sur la table des chapitres, à laquelle on me permettra de renvoyer.

Je me bornerai done à faire observer que j’ai considéré les sections coniques toutes à la fois , que je les ai décrites par un procédé unique et trèssimple , par lequel outre la parabole , l'ellipse , et l’hypei bole , on peut encore obtenir le cercle, le point, une ligne droite seule, et deux droites qui se croisent. L’équation que l'on déduit de ce procédé comprend aussi toutes ces choses. De cette équation résultent donc entre autres les propriétés des sections coniques et celles du cercle ; lesquelles ainsi rapprochées et comparées , mettent en évidence les rapports que les quatre courbes ont entr’elles.

Par tout d'ailleurs j’ai fait ensorte de donner des formules plus générales que les formules communément usitées.

J’espère qu’on voudra bien remarquer aussi la marche neuve des deux trigonométries. Je n’avais point pensé d’abord à m’occuper de la trigonométrie sphérique , parce que je ne voulais considérer que deux dimensions de l’étendue ; jeme suis enfin décidé à la placer à la fin de l’ouvrage sous la forme d’un supplément. Je l’ai du reste traitée d’une manière purement algébrique ; et j’ai beaucoup profité du mémoire de Lagrange inséré dans le Journal de l’école polytechnique.

En général j’ai mis quelque soin à discuter les formules, pour en faire ressortir tous les cas particuliers. Cette opération , qui est une véritable analyse logique , est sans doute ce qu’il y a de plus intéressant dans l’application de l’algèbre à la géométrie;. elle commence où cesse le mécanisme du calcul ; elle apprend à interpréter , à lire l’algèbre , à en extraire pour ainsi dire toutes les vérités qu’elle renferme; et elle fait disparaître jusqu’à l’apparence de sécheresse et d’aridité que l'on croit si communément accompagner cette science.

iv PRÉFACE.

Je désire bien sincèrement que cet ouvrage , tel qu’il est , puisse remplir l'attente des jeunes gens auxquels il est plus piurticulièremcnt destiné ; et J’ose l’espérer un peu, puisque déjà il a obtenu l'appui d’un gouvernement éclairé , qui attacha constamment beaucoup de prix aux progrès de l’instruction publique , et qui , dans ses soins toujours renaissans , ne voit jamais que le plus grand uranlagc du peuple heureux qui lui a coudé ses intérêts les plus chers.