TRIGONOMÉTRIE RECTILIGNE

Aotions préliminaires.

66. TTkois points non en ligne droite, situés à la surface de la terre ou dans l’espace, peuvent toujours être considérés comme les sommets des trois angles d’un triangle , dont les côtes ne sont autre chose que les distances respectives de ces mêmes points Or un triangle, sauf une ou deux exceptions, est déterminé par trois de ses parties, sur les six dont il est composé; c’est-à-dire que les trois angles et les trois côtés d’un triangle dépendent tellement les uns des autres qu’en général la grandeur de trois de ces choses étant fixée celle des autres ne peut plus varier (Géom. Liv. IL Th. IV et Schol. I. II. III. ). Si l’on peut donc mesiuer immédiatement trois parties d’un triangle, comme cela arrive souvent dans la pratique, on doit pouvoir en conclure la grandeur des autres parties, sans mesui'er celles-ci; sauf, comme nous l'avons dit, un cas ou deux dans lesquels le triangle n'est pas déterminé.

Pour faire voir comment on peut mesurer tel ou tel angle, et tel ou «tel côté d’un triangle, nous allons parler d’abord de la division de la circonférence en degrés, minutes et secondes, et donner la description de quelques instnimens les plus simples, qui servent à ces mesures.

67. “ Jusqu’à ces derniers temps les géomètres s’étaient accordés à diviser la circonférence en 360 parties égales appelées degrés, le degré en 60 minutes , la minute en 60 secondes , etc. Ce mode présentait quelques facilités dans la pratique , à cause du grand nombre de diviseurs de 60 et de 360 ;

TBIOONOMÉTIIK SECTIUGNE ; NOTIONS PRÉI.TMINAIREI. 37

mais il était réellement sujet à l’inconvénient des nombres complexes, et il nuisait souvent à la rapidité du calcul. „

“ Les savans à qui on doit l’invention du nouveau système des poids et mesures ont pensé qu’il y aurait un grand avantage à introduire la division décimale dans la mesure des angles. En conséquence ils ont regardé comme unité principale le quart de circonférence ou le «/uat/m/if, mesure de l’angle droit , et ils ont divisé cette unité en 100 parties égales appelées degrés , le degré en 100 minutes, et la minute en 100 secondes. „

• Nous n’emploirons désormais que la nouvelle division ou la division décimale de la circonférence. C’est celle qui convient le inieii.x à la nature de notre arithmétique , et qui est la plus propre à abréger les calculs. „

“ Les degrés, minutes et secondes se désignent respectivement par les caractères “, ', ", : ainsi l’expression- 16“6'7ô" représente un arc ou un angle de 16 degrés 6 minutes 75 secondes. Si on rapportait ce meme arc au quadrant, pris pour unité, il s’exprimerait par 0.1 60675. On voit, en même temps, que l’angle mesuré par cet arc est à l’angle droit comme 160075 est à lüOOOOO, rapport qu'on ne déduirait pas aussi facilement des expressions données par l’ancienne division de la circonférence. „

“ Les arcs et les angles sont exprimés indistinctement , dans le calcul , par des nombres de degrés, minutes et secondes. Ainsi nous désignerons l’angle droit ou le quadrant par 100“ , deux angles droits ou la demi-circonférence par 200“, quatre angles droits ou la circonférence entière par 400“ ; ainsi de suite. » (Legendre;.

Il faut observer à cet égard une chose assez importante , c’est que si un angle ne change point, les arcs décrits entre scs côtés et depuis son sommet pour centre , avec des rayons inégaux, seront toujours des portions semblables des circonférences entières; et contiendront par conséquent le meme nombre de degrés , minutes , etc. : car on sait ( Géom. Liv. V. Th. XXII. .Sch. II. ), que dans deux circonférences les arcs qui répondent à des angles au centre égaux sont entr’eux comme les circonférences. En nommant les circonféres c et c', et les arcs a et a', on a a : a'; : c : c'; mais est une portion de c et a' une portion de c* , on peut donc écrire ;

cd ,

— : — '.\c\c , cn\cm\\c‘.c; m n

d'où l’on tire edn = cdm et n = m.

Il devient donc indilîërent que le rayon soit plus grand ou plus petit ; s’il

38 trigonométrie rectiligne;

eut plus grand les degrés seront plus grands, puisqu’ils sont entr'eux comme les circonférences , et par conséquent comme les rayons ; mais leur nombre sera toujours le même. Ainsi ptiiir comparer les angles nous pourrons comparer le nombre des degrés des arcs décrits entre leurs côtés avec des rayons quelconques égaux ou inégaux.

68. Pour mesurer les angles sur le terrain, on emploie des instrumens, qui sont toujours ou des cercles ou des portions de cercles divisés en degrés. Le graphomètre suffit dans bien des cas.

“ C’est un demi-cercle de cuivre, fig. 13, divisé en 200*, et sur lequel on marque même le.s demi-degrés, selon la grandeur de son diamètre I.a demi-circonférence DHB, sur laquelle les divisions sont marquées, n’est pas «ne simple ligne; c’est une couronne demi -circulaire , à laquelle l’ouvrier donne plus ou moins de largeur; et cette couronne est ce qu'on appelle le lïmbc de rinstrument. Le diamètre DB fait corps avec l’instrument ; mais le diamètre EC, qu’on nomme alidade, n’y est assujetti que par le centre d, autour duquel il peut tourner, et parcourir par son extrémité C toutes les divisions de l’instrument. Chacun de ces deux diamètres est garni à ses deu.x extrémités de pinnules ( *), à travers lesquelles on regarde les objets. Quelquefois, au lieu de pinnules, chacun de ces deux diamètres porte une lunette. Celle qui répond au diamètre BD est parallèle à ce diamètre; l’autre, fixée à l’alidade EC, peut se mouvoir avec elle, et s’incliner un peu sur elle, afin de n’étre pas obligé de déranger le plan de l’instrument pour apercevoir le.s objets qui seraient un peu élevés ou abaissés à l’égard de ce plan. L’instrument est porté sur un pied, et peut, sans rien changer à la position du pied, être incliné dans tous les sens, selon le besoin. „

“ Pour- rendre le graphometre propre à mesurer les angles avee plus de précision, à indiquer les parties de degré, on fait, le plus souvent, sur la largeur et à l’extrémité du diamètre mobile des divisions qui, selon la manière dont elles correspondent à celles du limbe, servent à connaître les parties de degré de 10 en 10 minutes, ou de 5 en 5 minutes, ou etc. „

“ Pour mesurer un angle avec cet instrument , par exemple , pour mesurer

{*) Ce sont des lames métalliqties placées à équerre sur les di.-imitres et fendues de haut en bas d.ms le milieu de leur largeur, ooniinc on le voiCdaiis la figure. On vise à l'objet à travers ces ouvertures , afin qu’il sc trouve sur une droite «pii soit le prolongement du diainclre.

NOTIONS PHÉLiSIINAIRES, l’angle que formeraient au point A les lignes qu’on imaginerait tirées de ce point aux doux objets G et qn place le centre du graphomètre en A ^ et on dispose l’instrument de manière qu’en regardant à travers les pinnules du diamètre llxe BD on aperçoive un de ces objets F, et qu’cn même temps l'aiUre objet G se trouve dans le prolongement du plan de l'instrument ; ce qu’on fait en inclinant plus ou moins le graphomètre ; alors on fa'l mouvoir l’alidade EC jusqu’à-ce qu’on puisse apercevoir l’objet G à travers les pinnules £ et C; l’arc BC, compris entre les deux diamètres, est la mesure de l’angle G AF. „

“ Lorsqu’on veut employer le graphomètre à mesurer des angles dans un plan vertical, c’est-à-dire des angles formes dans un plan qui passe par ce qu’on appelle une ligne à-plomb , on donne au plan de l’instrument la position verticale, à l'aide d'un poids suspendu par un fil, dont on attache une extrémité au centre du graphomètre : lorsque le fil rase le bord de l’instrument , le graphomètre a la disposition convenable. „ ( Bézout ).

69. Pour mesm-er une ligne droite sur le terrain, on.se sert, dans les opérations ordinaires, de la chaîne d arpenteur ; c’est une mesure composée de plu.sieurs pièces de gros fil de fer , qui ont chacune un décimètre ou un double décimètre de longueur, en y comprenant les anneaux qui les joignent ensemble. On peut lui donner en tout dix mètres ou un décamètre, et chaque mètre est distingué par un plus grand anneau. Ceux des deux extrémités tle la chaîne sont assez grands pour qu’on puisse y pa.sser la main. Deux hommes portent cette chaîne par les deux bouts , et rappliquent bien tendue sur le terrain, toujours dans la même direction. Pour mar<iuer chaque fois le point où l’extrémité de la chaîne tendue arrive, le premier porte. - chaîne plante une fiche y c’est-à-dire une baguette de fer de trois à quatre décimètres de longueur, pointue par un bout, et ayant un anneau à l'autre bout. Le second porte-chaîne ramasse ces fiches à mesure qu’il les rencontre, et autant il en a ramassé autant la longueur qu’il s’agi.ssait de mesurer contient de chaînes. Les fractions s’estiment par les fractions de la chaîne.

Les extrémités de ces lignes droites qu’on veut évaluer, et quelquefois les points intei-médiaires , se marquent par des jalons; ce sont des bâtons droits plus ou moins longs, garnis par un de leurs bouts d'un fer pointu, qui permet de les entbneer dans la terre, et portant à l’auti'e bout un papier blanc qui les fait distinguer avec plus de facilité depuis une cciTainc distance.

70. Cela posé’, soient A, B, C, fig. 15, trois points situés à la surface

40 TRICONOM£T1ll E RECTILlCNEj

de la terre, supposons que l’on ait mesuré l’angle A , l’angle B, et le cùté c, on en peut d'abord conclure l'angle C, puisque les trois angles d'un triangle valent deux droits; mais on doit pouvoir en conclure encore la grandeur des côtés a et 6 , puisque le ti'iangle est déterminé par les données actuelles ( * ).

Or il est clair que lorsqu’on saura trouver les parties inconnues d’un triangle au moyen des parties connues, on pourra calculer les distances inaccessibles, et déterminer la position relative de tant de puints visibles qu'on voudra, situés à la surface de la terre ou dans l'espace.

• Cette grandeur de a et de ô, avec les données actuelle.s, peut se trouver par la simple géométrie, en partant de la propriété des triangles équiangles entr’eux d’avoir leurs côtés homologues proportionnels. Mais il faut alors un nouvel instrument qui permette de faire sur le papier des angles égaux à ceux qu’on a mesurés sur le terrain. Cet instrument , fig. 14, qu’on appelle rapporteur , sert aussi à mesurer sur le papier les angles déjà faits.

“ C’est un demi-cercle de cuivre ou de corne, divisé en 200". Le centre de cet instrument est marqué par une petite échanciiire C. Quand on veut mesurer un angle , tel que ECD , on applique le centre sur le sommet C de l’angle qu’on veut mesurer , et le rayon CB du meme instrument sur l’un des côtés CD de cet angle; alors le côté CE, prolongé s’il est nécessaire, fait connaître, par celle des divisions de l’instrument par laquelle il passe, de combien de degrés est l’arc du rapporteur compris entre les côtés de l'angle ECD, et par conséquent de combien de degrés est cct angle. „

* Pour faire, avec le même instrument, un angle d'un nombre déterminé de degrés, on applique le 'rayon CB de l’instrument sur la ligne qui doit servir de côté à l’angle qu’on veut former , [et de manière que le centre C soit sur le point où cet angle doit avoir son sommet ; puis cherchant , sur les divisions de l’instrument , le nombre de degrés en question , on marque sur le papier un point en cet endroit; par cc point, et par le sommet, on tire une ligne droite CE , qui fait alors,’ avec la première, l’angle demandé. » (Bézoutj.

Il faut de plus avoir une élr/te/A:, c’est, comme nous l’avons dit (n*. 7 note),

une

(*) Nous désignerons ordinairement les angles des triangles par de grandes lettres, et leurs côtes opposés par les petites lettres correspondantes (n*. 6).

KOTtONJ préliminaires. -4l

\xne longueur ai-bitraire mais proportionnée au papier sur lequel on opère, et qui doit être divisée en pai'ties égales.

On trace alors sur le papier une droite ^ fig. 15, à laquelle on donne autant de parties de l’échelle, qu’il y a de mètres dans la base AB, et l’on l’ait avec le rapporteur en A et Æ' , des angles égaux aux angles mesurés A et B; en prolongeant les lignes A'C , IfC , jusqu’a-cc qu’elles se rencontient en C. Les deux tiiangles ABC, A'B’C sont équiangles entr’eux, et autant on trouve de parties de l’échelle dans A'C et i^C autant il y a de métrés dans AC et BC.

On po.iirait aussi , sans graphomètre et sans rapporteur , faire sur le pajiier un iriangla semblable au triangle ABC, et cela au moyen de la plancitfUe, instrument très-simple et trés-commode dans bien des cas; mais nous n’entrerons pas dans ce détail.

71. Une chose essentielle à remarquer, c’est que toutes ces méthodes graphiques sont très-sujettes à erreur; car plus on emploie d'instrumens , plus on est exposé à se tromper. On a donc senti qu’il était nécessaire , pour obtenir un certain degré de précision , d’en revenir au calcul , et de n’employer que lu plus petit nombre d’instnnnens possibles.

Or trouver par le calcul la grandeur des parties inconnues d’un triangle, au moyen de celles qui sont connues, c’est ce qu’on appelle résoudre le triangle; et l’on nomme Irigonomélrîe la science qui nous fait connaître les principes nécessaires à cette résolution. Lorsque les côtés des triangles sont des lignes droites, la ti'igonométrie est rectiligne ou plane; et quand les triangles ont pour côtés des arcs de grands cercles tracés sur une sphère, la trigonométrie est sphérique.

Cette science est sans doute une partie de la géométrie; elle semble meme appartenir aux élémens ; mais à cause de l’importance de son objet , du but spécial qu'elle se propose, et des développemens qu’elle exige, on en fait une branche à part. Il parait que les principes de la trigonométrie rectiligne n’étaient pas ignorés des Eg^'ptiens , et qu'ils étaient familiers aux Grecs; mais la naissance de la trigonométrie sphérique a été plus tardive. Ce sont les Arabes qui les ont perfectionnées l'une et l’autre. Nous allons nous occuper de la première.

72. Pour entrer en matière, observons que dans le cas où l’on connaît les trois angles d’un' triangle, sans connaître aucun de ses côtés, le triangle n’est nullement detenmoé ( Géom. Liv. II. n®. 22 j. Il faut donc toujoui's,

42 TBICONOMÉTBIE RECTILIGNE;

pour pouvoir résoudre un triangle, qu'il y ait un côté parmi les trois choses

connues. Ainsi nous aurons à examiner les cas suivans :

1*. Un côté connu, et deux angles connus de grandeur et de position ;

2®. Deux côtés connus , et un angle connu de grandeur et de position ;

3°. Trois côtés connus.

Premier cas de la re'soluUon des triangles.

Définition et usages des sinus.

7S. On connaît un côte du triangle et deux angles, on connaît donc aussi le ti'oisième angle ; ainsi on peut supposer que le côté connu est adjacent aux deux angles connus; comme si l’on avait, dans la figure 15, le côté c et les angles // et B. La question est donc de calculer les côtes a et b.

Trois quantités connues en font trouver une quatrième, quand les quatre forment une proportion. On a donc cherché si les côtés d'un triangle étaient eiitr’eux comme les angles' opposés à ces côtés; ce que l’on aurait pu soupçonner d’abord, parce que dans un triangle un plus grand angle répond à un plus grand côté , et réciproquement ; mais on a trouvé que cette pro- ] ortion n’avait point lieu: ce qui est évident par cette seule observation p.articulière , que l’hjpothénuse d’un triangle rcetangle n'est pas égale à la somme des deux autres côtés , quoique l’angle droit soit égal à la somme des deux autres angles.

Les côtés n’étant pas entr’eux comme les anglc.s opposés, ils ne seront pas entr’eux comme les arcs qui mesurent ces angles. Etant donc donné le triangle ABC, fig. 16, .si l’on décrit des points A e\ B comme centres,

et avec un même rayon à volonté, deux cercles, on n'aura pas

AL : RC : : t arc NS : F arc MR.

On aurait pu penser que les cordes n’étant pas cntr’cllcs comme les arcs qu’elles soutendent ( Géom. Liv. V. n*. 20 ) , les côtés des triangles pour- ■ raient être entr’eux comme les cordes des arcs qui mesurent les angles opposés; mais on a encore reconnu que cette proportion n’était pas vraie.

Ainsi quand on mènerait les cordes MR et NS, on n’aurait pas

A C : BC : : la corde NS : la corde MR.

Enfin , voici le rapport qu’on a trouvé ; Abaissons sur AB les per)iendi. culaires MP , NQet CD, les triangles semblables ACD, AMP , donneront: