CHAPITRE PREMIER

Dts sections coniques considérées dans 'le cène et dans le cylindre^.

287. Soit ADBEy fig. 9-4, uo cercle, et an point pris hors du pim de ce cercle; si la droite indéfinie SA tourne sur le point fixe S, en glis^ sant tout autour de la circonférence ADBE^ elle engendrera dans ce mou^ Ycment deux cônes droits ou obliques , opposés par le sonanet S.

Si l'on coupe ces cônes par un plan , qui passe par te sonunet S , et qui entre vraiment dans les deux cônes , il est évident que les figures des sections seront terminées chacune par trois droites, dont deux, comme SD et SE , seront tracées sur la surface convexe du solide, car eUcs représentent deux positions de la génératrice SA ; et dont la troisième , comme VE , ne sera .autre chose que l'intersection du plan coupant avec celai de la base. Ces figures seront donc des triangles ; et si ces triangles passent par l’acte ÿC, on les appellera triangles par F axe.

Si on coupe un des cônes ptar un plan parallèle à la base, comme adbe^ pour savoir si la figure de la section n’est pas un cercle , nous chercherons le rapport des lignes qui la traversent. Pour cela nous mènerons l’axe du cône SCy et par cet axe deux plans qui s’entrecoupent sous un angle queK conque , comme SAB, SDE ; leurs intersections avec ADBE, adbe , seront parallèles, comme Ab, ab, DE, de, (Géom. Liv. VI. Th. VIII); et triangles semblables SAC, Sac, et SDC, Sdc , donneront ;

AC : ac i: SC Sc, DC : de :: SC : Sc; d’oû l’on tirera :

AC : DC :: ac ; de; mais AC — DC, donc ac = de.

224 ÏECTIOÎfJ CONIQUES

En répétant cette construction , on verra que tous les points de là courbe adbe , sont à une même distance du point c , où Taxe du cône rencontre le plan de cette courbe ; ce qui démontre que toute section parallèle à la base est un cercle dont le centre est sur l’axe du cône.

288. Cela posé, cherchons l’équation de la couibe MAm , fig. 95, 96, 97 1 qui résulte de Hntersection d’un cône par un plan placé d’une manière quelconque. Déterminons, par des intersections avec d’autres plans, certaines droites dans cette figure, qui se l'encontrent les unes les autres, et qui soient dans une position relative aussi avantageuse que possible pour devenir coordonnées de la courbe.

Supposons d’abord que la droite FG soit l’Intereection du plan coupant av«c celui de la base (car si nous prenions ces plans parallèles nous n’aurions qu’un cas très-particulier , et que nous avon,s déjà exanîiné (n“. 287). ] Menons ensuite un plan parallèle à la base, et qui rencontre le plan coupant ; leur intersection étant Mm , cette droite sera parallèle à FG ( Céom. Liv. VI. Th. VIII). Faisons encore passer par l’axe du cône un plan ft-î, il rencontrera décidément le cercle de la base et le cercle parallèle à la base, et les intersections v», seront des diamètres parallèles entr’eux

( voyez n‘. 287 ). Alors si ce plan par l’axe ne rencontrait pas le plan coupant dans l’intérieur du cône , on le ferait tourner sur l’axe , comme .sur «ne charnière, Jusqu’à ce qu’il le rencontrât. On continuerait même ce mouvement jusqu’à ce que le diamètre r» fût perpendiculaire à FG, et l’on aurait par conséquent aussi perpendiculaire à Jlfm.

En prenant donc AF et ^’F pour abscisses des courbes MAm, MA'm, la droite MP sera une ordonnée commune à ces courbes; d’ailieur-s cette ordonnée sera perpendiculaire k A' P , mais ne le sera pas dans tous les cas à AP. Désignons AP par x, MP par y, et cherchons une équation entre constantes relatives à la question actuelle. Ces constantes sont d abord les angles r, ï; ensuite l’angle 6AP , que nous nommerons «, et qui détermine l’inclinaison de la section ; et enfin la distance A» o\ikk laquelle passe le plan coupant relativement au sommet.

Or le cercle MA'm donne:

y' — A'P'AB'P .... (i); cherchons donc ce que valent A ‘P et B' P (*).

(•) Pour bieu comprendre ce qui suit, U faudra se souveoii', qu’en désignant

1”. Le