S-P HÉ R 1 Q D E
AK = tang c, GE = sec e,
AF = tang k, GF = séc b.
Menan» enfin EF ou h, les triangles rectilignes AEF, EGF, donneront:
h* = tang*b + tang'c — 2 tang b tang c cos A,
/t’ = sec* b + c — 2 séc b séc c cos a.
Maintenant, si on retranche la première équation de la seconde, en <Æservant que
séc^b — tang* b — R* = séc* c — tang* c ,
faisant de plus, pour simplifier, Ji = i, substituant, transposant,. et diri^ sant par 2 , on aura :
séc b séc c cos a = 1 + tang b long c cos Al
Mais puisque chaque tangente raut le sinus sur le cosinus , et que chaque sécante vaut l’unité sur le cosinus, si on substitue ces valeurs, et qu’on, multiplie par cos b cos c , on obtiendra :
eos a = cos b cos e + fin i sin c cos A ;
o'est la. relation cherchée entre un angle et’ les trois côtés. On en obtiendrait d’analogues pour les angles ^ et C; ainsi l’on a, sans un nouveau calcul:
cos a = COJ b cas c + s 'ui b sin c cas A , Y
cof b = cos a cos c + sin a sin c cos B , r • • (^«
COJ c = COJ a cos b sin a sin b cos C. j
Formules pour le deuxième cas : deux angles et les deux cdlés exposés.
318. Dans les triangles rectilignes on & sin A : a :: sin B : b :: sin C: c, voyons si quelque chose d’analogue aurait lieu pour les triangles sphériques.
On sait que sin A, = y' 1 — coj‘ A , prenons dans la valeur de coJ A, élevons-la au carré , substituons , réduisons au même dénominateur les quantités qui sont sous le radical , développons le numérateur de la fraction qui en résultera, mettons-y 1 — cos* ô à la place de sin* ô, et 1 — coj* c à la place de fin’ c, multiplions, réduisons, et extrayons U racine du dénominateur , nous aurons :
2ii
TXIOONOMf;TRII
sln A =
•Ji ^ cos' a — cos' b — tfoj* <? + 2 cos a cos b cos c sin b s 'ui c
Remarquant que le numérateur du second membre est une fonction s)Tnétrique des trois côtés , désignant ce numérateur par la lettre /■, et divisant les deux membres par sin a , pour que le dénominateur du second devienne aussi une fonction s/métrique des trois côtés, nous trouverons :
sin A ^ f
sin a sin a sin b sine
... , sin B sin C
Et comme on aurait la meme valeur pour — - et pour ; comme on
sin b sine
le voit par la permutation des lettres , il en résulte :
sin A sin a
sin S ' sin b
sin C sin c
C’est-à-dire que dans tout triangle sphérique 1er sinus des angles sont prO‘ portionnels aux sinus des côtés opposés.
Voilà la relation cherchée entre deux angles et les deux côtés oppoaés.
Formules pour le troisième cas : deux angles et deux côtés , dont Fun
commun à ces angles.
319. Pour avoir dans une même formule les deux angles A t\. B, mettons dans la première (/O la valeur de cos b prise dans la seconde , substituons ensuite à cos'c sa valeur 1 — sin' c , transposons, réduisons, et divisons par sin c , nous aurons :
cos a sin c = sin a cos c cos B -H sin b cos A.
Maintenant, pour faire disparaître le côté 6, puisque nous avons déjà a et c , substituons à sin b sa valeur en a , prise dans {X ) , divisons ensuite par
cos a
sin a, et mettons enfin cot a à la place de — , et cot A k la. place de
sui a
oos A , . ,
~ — ■ , nous obtiendrons : '
sin A ,■
cot a sia c =si cot A sin B -èr cos c cos B, '
IPBiRIdUE. 2SS
On pourrait trourer de même les valeurs de cot a sin de col b sin a , de cot b sin c, etc. ; ensorte que l'on aurait , comme on le voit sans calcul, et par la simple permutation des lettres :
cot a sin c = cot A sin B + cos c cos B ,
cot a sin b = cot A sin C + cos b cos C ,
cot b sin a = cot B sin C + cos a cos C ,
cot b sin c = cot B sin A + cos c cos A ,
'' cot c sin a = cot C sin B + cos a cos B ,
cot c sin b = cot C sin A + cos b cos A.
C'est la relation chorcfaée entre deux angles et deux côtés , dont nn est comnum à ces deux angles.
Formules pour le quatrième car r Tes trois angles et un cétéi
320. Reprenons la première éq^uation du numéro précédent r eos a sin c = sin a cos c cos B -ir sin b cos A;.
elle noua donnera, en ciiangeant a mr e, .</ en et réciproquement r
eos e sin a =. sine cos a cos B sim bi cos C .>
sid>stituons le second membre de cette derm'ère formule à la place de , r sin a eoscàms l’autre , puis mettons 1 — s'ui*B, à là place de co^ B^ transposons, réduisons, et divisons ptu- sin b, nous aurons :
CO* a — -r sm? B ^ cos B cos C 4* coiX , , . xm O
tin c tût C' •'
Mais — - = conune on le voit par (JC); sidwtituona encore cette
sm b stn B r
valeur, rédiÛMns, et tr^posons, nous trouverons enfin.;
— cos A = cos B cos C — sût B sin C cos a.
On obtienAvût évidemment des valeurs analogues pour — cos 5 ot — eos C; ensorte qu’on a , sans autre calcul :
— cos A
1 — co s B
— cos C
C'est la relation cherchée entre les trois angles et un c6té, ,
32 1. On remarquera que ces formules ressemblent tout- à -fait anx for-
mules (F ) , elles résultent de celles-là en y changeant les petites lettres en grandes lettres et réciproquement; en changeant de plus les signes de tous les cosinus , et conservant ceux des sinus. Les formules ( f') deviennent donc les formules (2") et icciproquement , en y mettant à la place des cAtés les supplémens des angles, et à la place des angles les supplémens des côtés. . '
Ayant donc un premier triangle sphérique , si l’on en construisait un second qui eût avec ccIui-là les relations indiquées, toutes les propriétés qui seraient relatives aux côtés de l’un appartiendraient aussi aux supplémens des angles de l’autre , et toutes ceUes qui seraient relatives aux angles du premier appartiendraient aussi aux supplémens des côtés du second. Or on forme ce triangle accessoire, qu'on appelle siipplémentaire ou polaire, en Joignant par des arcs de grands cercles lapdles des côtés du triangle principal (*) ; et prônant pour chaque côté un de ses deux pôles , savoir celui qui est situé de même part que le sommet de l'angle opposé,
322. Ainsi donc lorsque nous aurons tiré de (F) quelque nouvelle fi>riTulle , si nous substituons aux côtés les aupplémeas des anglqa .cq>poaés, et aux angles les supplémens des côtés opposés , nous aurons la formule analogue qu’on pourrait tirer de
323. Recherchons maintenant les propriétés des triangles sphériques, et
considérons-les d’abord sons le point de vue de leurs côtés , puis sous celui de leurs angles , et enfîn sous celui de l’inllueDce des côtés .sur les angles et des angles sur les côtés. ' < ,
(•) Les pSies d'un igràitd cercle sont les deüx points de la surface de la sphère qui sont à iOO* de chaque point de la clrcoBféreDce de ce cercle, fis sotft ks eatréinités de l’axe perpeudicUlairè au plan de ce même cercle. . ^ ...
TB IGOirOMÊTll lE,
cos 8 cos c — sm B sin C cos a, co.s A cos C — sin A sin à cos b cos A cos B — sin A sui B cos c.
czh
Pre^riétés
(PHÉBIQOS.
Propriétés des triangles sphériques :
1°. Relativement à leurs câtés.
324. Nous savons déjà que chacun de ces côtés est toujours plus petit qu’une demi-circonférence (n®. 314); voyons ce que nous dirait l'algèbre, si on voulait supposer un de ces côtés, comme a, égal à 200*.
Si a = 200® , on a sin a = O, et cor a = — 1 ; alors le& trois fonnulca iV) donnent ces deux-ci ;
— 1 = cos b cos c -4- sin b sin c cos A, cos b = — ■ cos c.
Cette seconde équation prouve que , dons ce cas , les côtés b et c seraient supplémens l’un de l’autre ; d’où résulterait sin b = sin c. Substituant ces valeurs de sin b et de cos c dans l'équation — 1 s: etc. , et mettant . . , 1 __ cQs* c à la place de sin* c , on trouverait i
coS* c — 1
cos A = = — t.
1 — cos* c
On amait donc A = 200® , et les côtés 6 et c ne liraient qu’un seul et mcine arc. Le triangle dégénérerait en fuseau.
326. Puisque chaque côté est plus petit que 200®, la somme des trois côtés est toujour s au-dessous de 600®. Bien plus , il résulte du Th. XIV du Liv. VI de la Géométrie, et de ce que nous avons dit au n®. 314, que cette somme est toujours plus petite qu’une circonférence entière, et que chacun des côtés vaut moins que les deux auti'es pris ensemble.
326. La même chose se prouverait par l’analyse. La première équation iF) donne ;
cos a — cos b cos c
retranchons ses deux membres de l’unité, et réduisons au même dénominateur les ternes du second , nous aurons :
cos A =
( cos b cos c+ sin b sin c)— cor a sin b sin c
cos (b — c ) — cos a sin b sin c
3 siii { f fli 4 * i — c) iln \(a+c—b')
sin b sùi c On trouverait tout aussi faeilcmcnt :
COJ a — C J b cos c — sin b sin c )
