h cos A =s

sin b sin c

2jwrî(6 + c + a) JWï(t + c — a) sin b sin c

Mais 1 — cos A ^2 sin* | ./l , et 1 + eoj .4 = 2 cos* | A, [ (1 1) n*. QO] ; d’où il résulte que l’on a, en appliquant le même calcul aux deux autres équations (/^):

s'ui b sin c sin* lA=sinl(a + b — c) sin {(a + c sin ex sin c sin* \B = sin l(b + a — c) sut \ (b + c sin a sin b sin* ~ C = sin { (c + a — b ) sin | ( c + 6

sin b sin c cos* \ A = sin l(a + b + c ) siti ^ ( b c sin a sin c cos* |.5 = j</ij(a + 6 + c)jin|(a + c s'ui a sin b cos* x C = sin l{a-i- b + c ) sin | ( a + 6

Cela posé, puisque chaque côté a toujours moins de 200“ , le premier membre de chacune de ces équations est essentiellement en plus ; donc les seconds membres sont aussi en plus , et les deux sinus qu’ils ont pour facteurs sont, ou tous deux en plus, ou tous deux en moins.

Arrêtons-nous aux formules ( Z) , si l’on y faisait a -+- ô + c = 400“ , on aurait | (a + ô-f-c) = 200“ , et sin | (a-j-ô + c) = sc'/o; ainsi les premiers membres se réduiraient aussi à zéro, ce qui ne pourrait avoir lieu qu’en faisant quelque côté nul ou égal à 200“, suppositions également impossibles ; ou en faisant \A= 100*, î B = 100*, | C =: i00“, et par conséquent A — 200“, B = 200*, C— 200“, ce qui est encore impossible ( n". .315).

Si l’on faisait a + ô -|- c > 400 , on aurait | (a+ô + c) > 200 ; mais ï (a-f-ô + c) < 300 ; donc sin \ (a b c) serait en moins , et par conséquent aussi , d’après ce que nous venons do dire, îi/i| (ô + c — a), sin + ô — c), sinî (a-j-c — b). Dan.s ce cas les arcs répondant à CCS sinus seraient ou plus grands que 200, quoique moindres que 300, ou ils seraient négatifs. Or si | ( ô -f- c — a ) > 200 , on a b-{- c — « > 400 •,

SPHÉRIQOE. 259

cependant i + ^ < -îOO > donc on ne peut avoir b + c — a > 4oo , et de même pour le* autre* ; car ayant pris le» côté* comme positifs , dans la position où il* sont , aucun d'eux ne peut être en même tems négatif. Ainsi les arcs des sinus seraient en moins , et l’on aurait ;

Ajoutant ce* inégalité* deux k deux, et retranchant de part et d’autre les mêmes lettres, on trouverait a < o, 6 < o, c < o ; ce qui est absurde, par l’observation que nous venons de faire sur les signes des côtés. Donc enfin a + ô + c < 400*.

327. Puisque a + b + c < 400®, \ (.a + b + e) < 200® ; d’où il résulte que 5WJ |( a + i 4- c) est en plus, et que les sinus des seconds facteurs sont aussi en plus. Donc

Réciproquement si ce# inégalités ont lieu, le* sinus des seconds facteurs étant en plus, cos A, cos B, et cos C, seront toujoui-* possibles, et on pourra former un triangle sphérique avec trois arcs valant ensemble moins de 400* , et tels que chacun soit plus petit que la somme des deux autres.

Propriétés des triangles sphériques :

2®. Relativement à leurs angles,

S28. Il résulte de ce que nous avons dit au n*. 315, que chaque angle d'un triangle sphérique vaut moins de deux droits , et que par conséquent les trois ensemble valent moins de six droits ; voyons donc si leur somme ne serait point égale à deux droits , comme dans les triangles rectilignes.

D’après l’observation du n®. 322 , nous pouvons tirer de (A) et de (/) les formules suivantes ; que l’on conclurait aussi de (,Z) par- un calcul semblable à celui du n®. 320 :

sin B sin C cos^ | a sin A sin C coé* { b sin A sin B cos* ][ c

sin B sin C sin*laz s 'm A sm C sin* \ b = sin A sin B sin* I c-

=zcoslCA+B—C)cos{(A+C = cos{(B + A— C)cosl(B-i- C = cos |(C4-A — B) cos K C B

Z— cosi(A + B+C) cos\{B+C

z—cosl (A-f-^+C) cor^C-"! "H C : — cos î (A-i~ B~i~ C) cos i(A~i~B

-bA.

Kk 2

260 TRIGONOMiTXie

£t puisque chaque angle a toujours moins de 200®, le' premier membre de chacune de ces équations est en plus ; donc si l'un des facteurs des seconds membres est en plus, l’autre, abstraction faite du signe général, est en moins , et réciproquement.

Anètons-nous aux formules («); si l’on y faisait ^'+ Zf + C=r200®, on aurait î ( ^ + C) = 100’, et le cosinus de cet arc serait nul ; ensorte

que les premiers membres de (n) deviendraient nuis, ce qui ne pourrait avoir lieu qu’en faisant quelqu’angle ou côté nul ou égal à 200*, suppositions également impossibles.

Si l’on faisait./^ + H + C < 200®, on aurait \ iA + B+ C) < 100®, et le cosinus de cet arc serait en plus, les cosinus de { C — .d) , de . .

B — C), et de | (A + C — B), seraient donc en moins , et ces arcs seraient chacun plus grands que 100°. Mais si l’on a, par exemple, \(,A~{- B — C) > 100°, à plus forte raison aura-t-on C) > 100°;

ce qui est contraire à l'hypothèse.

Donc les trois angles d'un triangle sphérique valent ensemble plus de deux angles droits, et moins de six.

Il s’agit de voir maintenant si l’inverse de cette proposition est vraie.

Ayant A + B+C> 200 et < 600, il en résulte | ^ + B+ C) > 100 et < 300 ; ainsi — coj | ( .1 -f- 5 -+- C) est toujours en +. Cela posé , pour que le triangle soit impossible, il suffit que cos i(B + C — A y, par exemple, soit nul ou en — . Or puisque *(.d + i?-4-C)< 300, à plus forte raison {(.B-\- C — A ) < 300. .\insi en faisant 1*. eos |(5-4- C — A) = o, on a I (B-i- C — Ay= 100®, et 5-+-C-+-.4=200-4-2d. En faisant.. .

2°. coî |( 5-f- C— A) tn — , on & l(B+ C — Ay > 100* et

A > 200 •+- 2 .d. On voit donc qu’avec trois angles valant plus de deux droits et moins de six , on ne peut pas toujours faire un triangle sphérique.

Propriétés des triangles sphériques ^

$*. Relativement d Vmfluence des câlés sur les angles , et des angles sar

les côtés.

329. Nous allons chercher à résoudre les triangles sphériques , et nous apprendrons par là quelles sont les données nécessaires pour les déterminer (U*. 316;,

spRÉBiQtre.