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secondes comme si elle était le résultat des recherches d'autre nature, nous allons trouver ses intégrales des différents ordres, et nous en déduirons, par la seule analyse, les principales propriétés de la surface à laquelle elle appartient.

Des caractéristiques de la surface à laquelle appartient l'équation aux différences secondes.

J'ai fait voir que, si la différentielle d’une équation aux différences partielles du second ordre, prise en ne faisant varier que les seules quantités r, $, t, est

Ran-ESds -ETdt— 0; l'équation générale de ses caractéristiques est Rdy° — Sdxdy + Tdx?— 0:

or, dans le cas présent, on a

donc l'équation des caractéristiques sera a(B+q)dy"— [B(B+g)—a(a+p)]dxdy — (a+ p) dx*—0, qui, pouvant être mise sous la forme («dy — Bdx) [(8 + q) dr + (a + p) dx] —o, est composée de deux facteurs, et donne les deux équations

ady — Bdx — 0,

(B + q) dy + (a + p) dx — 0:

donc la surface a deux caractéristiques indépendantes, et les quan-

tités dont seront composées les deux fonctions arbitraires qui com-

pléteront son intégrale finie seront différentes entre elles. L’équation de la première caractéristique est

«dy — Bdx = 0, ou, remettant pour « et B leurs valeurs,

(x + pz) dx + (y + gz) dy = 0, ou enfin xdx + ydy + zdz — dont l'intégrale