VA B'+C
dans le cas présent on a
CEE
D = z — px — qY;
par conséquent, la distance de l’origine au plan tangent est
FA = PX = qY Vi+p?+9?
Donc, en exprimant que cette quantité est une fonction arbitraire
de la première, une des équations aux différences partielles du premier ordre sera
7— PE — Gy NSP)
dans laquelle la fonction Y n’est pas de même forme que la fonction }, qui entre dans l'équation intégrale, quoique l’une soit une dérivée de l’autre.
Passons actuellement à l’autre équation aux différences partielles du premier ordre.
Pour tous les points d’une même génératrice, le plan mené par l’origme et la normale est invariable, puisque ce plan est celui de la courbe elle-même, que l’on regarde en cet instant comme fixe. Or l'équation du plan mené par l’origine et la normale est, en x’, y", z',
—£ (y +9) +y'(&+ pa) +2 (gx — pr) = 0;
donc, pour tous les points d’une même génératrice, les deux quan- Mictrigz 3 X + pz GX — PJ QT —PY changent dans le passage d’une génératrice à une autre. Ces deux quantités, qui sont constantes ensemble et variables ensemble pour
tités conservent les mêmes valeurs, et elles en
Ho e les différents points de la surface, sont donc fonctions l’une de l’autre; donc la seconde équation de la surface engendrée, aux différences partielles du premier ordre, est
mors = o ( J + 97 h FR PY ben PL:
dans laquelle la fonction ® n’est pas de même forme que celle qui est exprimée par @ dans l'intégrale finie, quoiqu’elle en soit dérivée.
Cette seconde équation aux différences partielles du premier ordre peut être trouvée par une autre considération, qui la produit sous une forme différente, et qu’il est bon de connaitre.
Il suit de tout ce qui précède, que la surface des centres d’une des courbures de la surface courbe que nous considérons est celle d’un cône à base quelconque dont le sommet est à l’origine. Or, si l’on représente par &’, y’, =’ les coordonnées du centre de cette courbure, en tant que ce centre se trouve sur la normale, on aura d’abord, entre les quantités x”, y”, z', les deux équations de la normale
L'+ pr = X+pPz,
J'+gs = +.
De plus, si l'équation de la surface conique est : 0 (2), ou, ce qui revient au même, si elle est le résultat de l’élimination de « entre les deux équations x — z4, Y — z94, on aura encore, entre les mêmes coordonnées, les deux équations
A2 Yi —zQu.
Enfin le point de la surface doit être sur le plan qui touche la surface conique dans le centre de courbure, et l'équation de ce plan est ! ! :
— xQ + y +z(p — ap) —0;
Oo
: 4 13° . . ! wi 4 done, si des quatre premières on élimine les trois quantités x ,Y ,3,
il restera, en x, y, z, les deux suivantes :
(x + pz)® — (Y + gz)a + gt — py = 0, — xp +y +z(p—ap)—0;
ou bien, éliminant 9 de la seconde, au moyen de la première,
(x + pz)® — (y + gz)a + gx — py = 0, (x + pz)g — (y + gz) = 0;
et la seconde équation aux différences du premier ordre sera le résultat de l'élimination de # entre les deux équations précédentes, dans lesquelles la fonction arbitraire o diffère de celles que nous avons ci-devant représentées par @ et ®.
La seconde de ces équations étant la différentielle de la première, prise en regardant « comme seule variable, la surface peut donc être regardée comme l’enveloppe de l’espace parcouru par la surface à laquelle appartient la première de ces équations, et qui change de forme et de position en vertu du paramètre «. Cette surface mobile est la surface développable engendrée par la tangente de la génératrice; elle est circonscrite à une sphère dont le centre est à l’origine, et dont le rayon, constant pour la surface engendrée par la même tangente, change pour celle qui est engendrée par une autre, et deux de ces surfaces consécutives se coupent dans une des lignes sphériques de courbure de la surface principale. Mais en voilà assez sur cet objet, que nous terminerons par l’observation suivante.
Des deux équations que nous venons de trouver en dernier lieu, l’une est destinée à éliminer 4 de l’autre: or il est clair que si cette élimination était exécutée, ce qui ne peut se faire tant que la forme de la fonction g n’est pas déterminée, il ne resterait dans la X + Pz a NS es qz
résultante d’autres quantités que {2 — PT GT —PY
;: donc ces deux
b. Be
. 2 . . . 1: , . re .
quantités sont fonctions arbitraires l’une de l’autre, ce qui coïncide avec l'équation unique que nous avions d’abord trouvée.
Equations de la surface aux différences partielles du second ordre.
De même qu’une équation aux différences partielles du premier ordre n’est que l’expression de la propriété du plan tangent ou de la normale de la surface à laquelle elle appartient, de même une équation aux différences partielles du second ordre n’est que l’expression de la propriété des rayons ou des lignes de courbure. Or, dans la surface que nous traitons, nous connaissons les propriétés de ses deux lignes de courbure ; donc nous pourrons obtenir son équation aux différences secondes, de deux manières différentes ; et d'abord, en considérant sa ligne sphérique de courbure.
L’équation générale des lignes de courbure est
dy [+ g*)s — pat] + dxdy [+ g°)r — (1+p°)t] dr [ (1 + p*)s — pqr| — 0.
Pour la ligne sphérique de courbure, on a
xdx + ydy + zdz — 0, (x + pz) dx + (y + qgz) dy — 0.
Ces deux équations appartenant à la même courbe, la propriété de FPE RE | la surface est donc que les valeurs de => QU elles donnent, soient égales entre elles. Donc l’équation aux différences secondes est le ’ # . . . d Fa .
résultat de l'élimination de 7 entre ces deux équations.
dx Si l’on fait, pour abréger,
Y + qz Ut X + pz CERTES À. gx — py 38.*
— MAD ce qui donne les deux équations ax + BY +z—=O, ap +fq —1—=0, ’ 5 71° . , dy , 5,7 .
le résultat de l’élimination de —— et, par conséquent, l'équation aux différences secondes sera
(ar + Bs)(B+g)=(a+p)(as + Bt).
Si nous employons la considération de la ligne plane de courbure, nous savons que cette courbe est dans le plan mené par la normale et l’origine, plan dont l’équation en x’, y’, z' est
—& (y +9) +y (x + ps) +2 (gx — pr) = 0, et dont l’équation différentielle est — da" (y + qz) + dy'(x + ps) + ds" (gx — py) = 0.
Mais, si sur ce plan on ne considère que la ligne de courbure, les coordonnées x”, y”, z’ deviennent respectivement égales aux æ, y, z de la surface ; on aura donc, pour toute ligne de courbure plane,
— dx (y + gz) + dy (x + pz) + dz (gx — py) — 0;
ou, mettant pour dz sa valeur pdx + qdy, et employant les mêmes abréviations que ci-dessus,
(æ + p) dx + (B+ q) dy = 0:
. dy , . PORT donc, en substituant pour cette valeur dans l’équation générale
des lignes de courbure, on aura l'équation de la surface, qui se trouve, comme précédemment,
(ar +Bs)(B+q)—=(x+p)(as + Bt).
Actuellement nous allons traiter cette équation aux différences
