TR TR
Re
Si de ces deux équations on tire les valeurs de x et 8, on trouve AR NL RO — dy;
ces valeurs, substituées dans l’équation aux différences secondes , donnent
(rdx + sdy) (dy + qdz) — (dx + pdz) (sdx + tdy),
ou
dp (dy +- gdz) = (dx + pdz) dq,
équation générale des lignes de courbure.
Donc la première caractéristique de la surface est la ligne d’une de ses courbures. Ainsi la surface est telle, que les lignes d’une de ses courbures sont les intersections de la surface par une série de sphères concentriques, et dont le centre commun est à l’origine.
Passons actuellement à la seconde caractéristique, dont nous
avons vu que l'équation est
(a + p) dx + (B+q) dy = 0, ou a dx + Bdy + dz = 0.
Cette équation serait celle d’un plan, si les deux quantités «, 5 étaient constantes. Or, pour tous les points de cette même caractéristique, ces deux quantités sont, en effet, constantes; car, si l’on différentie
les deux équations SE SN MI AE OT que fournissent les abréviations, on aura
xda + YdB + adx + Bdy + dz — 0, pda + qdB + adp + Bdq = 0,
RESTE qui, pour la seconde caractéristique, dans laquelle on à
adx + Edy + dz = 0,
deviennent xda + ydB — 0, pda + qdf + adp + Bdq = 0; tirant de ces deux équations les valeurs de da et dB, on a da (gx — pr) = y (adp + Bdq), dB(gx — pr) = — *(adp + Bdg):
donc les différentielles dx, dB seront toutes deux nulles, et les quantités « et 8 seront toutes deux constantes lorsque l’on aura
adp = $dq = 0:
Or, pour tous les points de la seconde caractéristique, cette dernière équation a lieu; car l'équation de cette courbe est
adx + Bdy + dz — 0, et, à cause des abréviations , on a LL EME Re E- 0) ce qui donne pour « et £ les deux valeurs suivantes : a (ydx — xdy) = ydz — zdx, B (ydx — xdy) = xdz — zdx,
qui, substituées dans l'équation aux différences partielles du second ordre, donnent
T dr + 7) = dq(x + pz) = 0, ou a dp + Gdq O0!
Donc, pour toute l'étendue de la même seconde caractéristique, les quantités « et $ sont toutes deux constantes; donc l’équation de
cette courbe adx + Bdy + dz = 0
est celle d’un plan. Aïnsi la seconde caractéristique est une courbe
plane.
L'intégrale de cette équation est, en général,
ax + By + z — constante; mais les abréviations donnent CREME 70:
donc la constante introduite par intégration est nulle, et le plan de la courbe passe par l’origine.
Ainsi la seconde caractéristique est une courbe plane dont le plan passe toujours par l’origine.
Reprenons l'équation de la seconde caractéristique
a dx + Bdy + dz = 0; les abréviations donnent | D 6 QE" 1— 0:
Ces deux équations donnent pour « et £ les valeurs suivantes: a (qdx — pdy) = — dy — qdz, B (gdx — pdy) = dx + pdz,
qui, substituées dans l’équation aux différences partielles du second ordre, donnent dp (dy + qdz) = (dx + pdz) dq,
équation générale des lignes de courbure: donc la seconde caractéristique est la ligne de l’autre courbure de la surface, qui est par conséquent plane, et dont le plan passe constamment par l’origine.
En résumant cet article, on voit que la surface à laquelle appartient l'équation aux différences secondes
(ar +Bs)(B+g)= (a+ p) (es + ft)
a deux caractéristiques différentes; que ces caractéristiques ne sont autre chose que les lignes de ses deux courbures; et que de ces deux lignes, l’une est une courbe plane dont le plan passe par l’origine, et l’autre est sur la surface d’une sphère dont le centre est à l’origine. De cela seul il serait facile de déduire les générations que nous avons exposées précédemment.
Des deux intégrales premières de l'équation aux différences
partielles du second ordre.
Chacune des caractéristiques devant fournir une intégration, nous allons d’abord employer la première, dont l'équation est
a dy — Bdx = 0,
ou x dx + ydy + zdz — 0, ou enfin, en intégrant,
Si, dans la proposée
ler + Es] (B+g)= (a+ p)[es + ft],
on substitue pour r et { leurs valeurs tirées de dp — rdx + sdy, dq — sdx + tdy, en vertu de l’équation de la caractéristique, elle
devient dp(£+q)=(a+p)dq;
mais en faisant, pour abréger,
ME Qu —= k°, 3 — PT — 4Y = Y,
si l’on substitue pour « et 8 leurs valeurs dans la dernière équation, elle devient
dp[éÆa + po] +dg[Er + g]—o, ou
Æ [æxdp + ydq] + v [pdp + qdq] — 0, ou enfin
