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p k téristique sphérique a donc les équations intégrales
dont l'intégrale est - — 9, S étant la constante arbitraire. La carac-
dans lesquelles les quantités y, d, qui sont généralement variables, sont néanmoins toutes deux constantes pour toute l'étendue d’une même caractéristique individuelle: donc ces deux quantités sont fonctions arbitraires l’une de l’autre; donc une des intégrales pre-
mières de la proposée est
2px qq} — Vi+p +q" Ext +y + 2?)
qui coïncide avec celle que nous avons trouvée par les considérations géométriques.
Pour trouver l’autre intégrale première, il faut employer la se-
conde caractéristique, dont l’équation est
(B+gq)dy +(a+p)dx —o,
ou adx + Bdy + dz = 0.
Nous avons vu que les quantités « et $, qui sont généralement variables, sont toutes deux constantes pour tous les points de cette courbe; ces deux quantités sont donc fonctions l’une de l’autre, et l’on aura, pour la seconde des deux intégrales premières,
ou LEE Dei qz EP ER Te 78 ÉD t L3 À SPA qui coincide avec une de celles que nous avons trouvées directement.
Si l’on introduit £ — dx dans les équations produites par les abréviations, elles deviendront
ax + YDa+z—O,
ap +qDa—1—o,
qui auront lieu en même temps pour la caractéristique plane et dans lesquelles « est la constante qui détermine la position de la courbe individuelle : donc le résultat de l'élimination de z entre ces deux équations appartiendra encore à la surface, et sera la même intégrale que la précédente, présentée sous une autre forme. Cette intégrale exprime que si l’on pose la première des deux équations ax + ya + z — 0, c'est-à-dire que si l’on coupe la surface par un plan tangent à la surface d’un cône à base quelconque dont le sommet est à l’origine, on doit aussi avoir la seconde équa-
On ap + ga — 1 — 0; c'est-à-dire que ce plan sera partout perpendiculaire à la surface. D'où il est facile de conclure que la surface est engendrée par une courbe plane quelconque et constante de forme, dont le plan roule autour d’un cône à base quel-
conque, dont le sommet est à l’origine.
Intégration de l'intégrale première Z— PL —qY — Vi + p° + q Ya + y* +2).
On sait que si la différentielle de la proposée prise en regardant p et q comme seules variables est Pdp + Qdq — 0, l'équation de la caractéristique est Pdy — Qdx — o. Or, en faisant, pour abréger,
1+p° + q° = k*, on a, dans le cas présent, | ÿ Ba Toi M Q= 7 + Le
L’équation de la caractéristique est donc [kx + pY] dy — [ky + qw] dx = 0; ou, chassant Ÿ au moyen de la proposée,
— (r + q2) dx + (x + pz) dy + (gx — py) dx — 0,
D Mn ES et X + pZ
QE —pPY GX —PY
sont toutes deux constantes pour tous les points de cette courbe. Or cela a lieu, en effet; car, après avoir représenté ces deux
quantités, la première par — x, la seconde par B, ce qui donne
équation qui sera celle d’un plan si les quantités
ax + BY + z —0O, ap+fqg—1i—o
OO
on trouve, par la différentiation, que les différentielles du, dB sont toutes deux multiples de «dp + Bdq, et sont, par conséquent, toutes deux nulles, quand on a «dp + fdq — 0. De plus, cette dernière équation a lieu pour toutes les caractéristiques; car, si l’on différentie la proposée en regardant successivement x et y comme seules variables, on a
Pr + Qs + 2% (x + gz) = 0, Ps + Qt + 2k (y + gz) Ÿ' = 0,
qui, par l'élimination de #”, donnent
a (Pr + Qs) + B (Ps + Qt) — 0, 6 P(ar + Bs) + Q (as + ft) — 0,
équation qui appartient à toute la surface. Mais l'équation de la caractéristique est
Pdy — Qdx — 0;
RTE P + p , donc, éliminant = des deux dernières équations, on aura, pour
toute l'étendue de la caractéristique,
(ar + Bs) dx + (as + ft) dy = 0, ou enfin
a dp + Bdq — O0,
Les quantités # et £ sont done toutes deux constantes pour unie … même caractéristique. L’équation de la caractéristique
adx + Bdy + dz — 0
est celle d’un plan; et parce qu’à cause des abréviations, cette intéorale ne peut être que
ax + fY+z—o,
il s'ensuit que la caractéristique est une courbe plane, dont le plan passe constamment par l’origme.
Pour avoir l'expression de cette courbe, indépendamment de la surface sur laquelle on la considère, il faut, au moyen de son équation et de dz — pdx + qdy, éliminer de la proposée les deux quantités p et g. Le résultat de cette élimination, qui, en faisant, pour abréger,
est l'équation unique aux différences ordinaires,
3 à à u? du?
dx* + dy* + dz° — EP) exprime donc la caractéristique considérée d’une manière abstraite. La propriété qu'énonce cette équation est que l’arc de la courbe est une certaine fonction du rayon vecteur, ou que la distance de l’origine au plan normal est aussi fonction du même rayon vecteur.
La caractéristique étant exprimée par une seule équation aux différences ordinaires, qui appartient aussi à toutes les courbes touchées par les différentes séries de caractéristiques, il s'ensuit que la surface a une arête de rebroussement qui résulte de la génération elle-même, et qui a lieu, quelle que soit la génératrice.
Intégrons d'abord l'équation aux différences ordinaires considérée comme appartenant aux caractéristiques. Pour cela, si, des deux équations
RUB ENT 0 De rs —"Ù , et de leurs différentielles adx + Bdy + dz—0o, xdx + ydy + zdz = udu,
on tire les valeurs de x, y, dx, dy, pour les substituer dans la proposée, on lésréduira à une équation aux différences ordinaires entre
les deux seules variables w et z. Dans ces équations, « et 6 sont des constantes arbitraires. De ces quatre équations, les deux dernières donnent pour dx et dy les valeurs suivantes : dx (Bx — ay) = Budu + dz(y — Gz),
dy (6x — ay) — audu + dz(x — az), qui, en faisant, pour abréger, 1 + &° + f°* = h*, donnent
(dx? + dy° + ds?) (6x — ay) = h (udz — zdu) + du? [u? (a? +8) — 2].
Mais des deux premières on tire
(Bt — ay) = u° (a° +?) — h°z?; donc on aura
k° (udz — zdu)*
de” E dira reel
Substituant cette valeur de dx° + dy° + dz*° dans l’équation aux différences ordinaires, elle deviendra
du “Vu E h (udz — zdu)
Va Vélté r6) he
, . . u à dans laquelle on séparera les variables en faisant = —p: ce qui
donne du. hdv ES.
PANNE pr? +f6)—h Li
qui s’intègre par les quadratures, et dont l'intégrale est
mur PAF cos ee , u Vu? — Y? Ver 0
HR l0 7
[12 ou, mettant pour # sa valeur æ
NE M Lz LA u Vu? — Y? u Va? + f° LE
y étant la constante arbitraire introduite par cette intégration. Mais
on à aussi, pour la caractéristique,
ax + ÊY + z = 0.
Donc ces deux équations, qui sont complétées par les trois constantes arbitraires &, 8, y, appartiennent à la caractéristique considérée d’une manière abstraite ; en sorte que, si l’on regarde 4, B, y comme susceptibles, chacune en particulier, de toutes les valeurs possibles, ces deux équations expriment toutes les caractéristiques planes qui se trouvent sur toutes les surfaces susceptibles de la génération exprimée par l’équation aux différences partielles.
Si l’on voulait prendre une série de ces courbes telle, que le lieu de toute la série füt une surface courbe, il faudrait établir entre a, 5,77 deux relations, ce qui se réduirait à faire 6 — ga, y = wa; les deux équations, qui deviendraient alors
[ Ydu Zi Het
Ju UE E u a? +
appartiendraient seulement aux caractéristiques qui se trouveraient sur la surface. La nature de cette surface dépendrait de la forme des fonctions © et 7, et chacune des courbes serait déterminée sur cette surface par la valeur particulière de la constante «, la seule qui subsisterait alors; par conséquent, en éliminant « entre ces deux équations, on aurait celle de la surface qui serait le lieu de la série.
TT
Mais, pour la surface que nous considérons, la série ne doit pas être formée d’une manière entièrement arbitraire. Dans chaque série, deux courbes consécutives quelconques doivent se couper, et la suite de ces intersections doit donner lieu à l’arête de rebroussement. Il s’agit donc de trouver la relation qui doit exister entre d, Qa, ra, pour que cette condition soit remplie.
Or le point de la caractéristique qui appartient aussi à l’arête de rebroussement est celui dont les coordonnées +, y, z ne changent pas dans les deux équations précédentes quand « varie. Done, si l’on différentie ces deux équations en regardant + comme seule variable, les deux nouvelles équations
et T+Y® —0,
qu'on obtiendra, appartiendront, ainsi que les deux précédentes, au point de l’arête de rebroussement. Done, si, entre ces quatre équations, on élimine les trois coordonnées x, y, z, l'équation résultante en «, ox, rx détermine la forme que doit avoir la foncuon 7, pour que toutes les caractéristiques d’une même série se coupent consécutivement.
De ces quatre équations, la première et la quatrième donnent
x(p—ap)—2p, Y(P—ap)—— 2,
et, par conséquent,
