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la seconde est assujettie à certaines conditions; elle est elle-même une autre surface de révolution autour du même axe, et l’on voit aisément que le méridien de cette nouvelle surface de révolution est la développée du méridien de la première.
Ainsi deux surfaces ne peuvent pas être prises arbitrairement pour être les deux nappes du lieu des centres de courbure d’une troisième surface. De ces deux nappes une seule peut être prise arbitrairement ; et celle-ci étant donnée, l’autre s'ensuit nécessairement : ce qui donne lieu au problème suivant, que nous allons d’abord résoudre.
(/ne surface courbe quelconque donnée étant regardée comme le lieu des centres d'une des courbures d'une autre surface, trouver
l ‘équation du lieu des centres de l’autre courbure.
La normale devant toucher les deux surfaces des centres de courbure, soient x’, y’, z’ les coordonnées de son point de contact avec la première, et x”, y”, z” celles de son point de contact avec la seconde. De plus, soient
dz’ — p'dx' Sa q'dy!
l'équation différentielle de la première surface des centres, et dz’! OL ä à q'dy"
celle de la seconde surface; il est clair que p”, g” seront des fonctions de +” et y”, et que p”, q” seront des fonctions de +”, y".
Cela posé, si par le point de contact de la normale avec la première surface des centres, et dont les coordonnées sont x”, y”, z’, on mène un plan tangent à cette surface, l'équation de ce plan en
rte æÆ, YŸ,'z sera 2— 3 = p'(t— 2") PASSENT
Mais ce plan contient la normale, et passe par conséquent par le point de contact de cette droite avec l’autre surface des centres, point dont les coordonnées sont x”, y", 3"; donc l’équation de ce plan aura lieu entre les trois coordonnées du second point de
contact, et l’on aura
“r LAINE FAI / 7 /
De même, si, par le point de contact de la normale avec la seconde surface des centres, et dont les coordonnées sont x”, y”, z”, on mène un plan tangent à cette surface, l’équation de ce plan en ZT, V; Z SErA
2 — 2% — DATE D) + g'(y —7");
et, parce que ce second plan contient encore la normale, et passe,
par conséquent, par le point de contact de la normale avec la pre-
mière surface des centres, point dont les coordonnées sont x, /
x’, 2", il s’ensuit que l'équation du plan doit avoir lieu entre ces trois dernières coordonnées : donc on aura
Z 1 (x — x’) ee g'(Y"— y").
De plus, par la propriété des courbures des surfaces courbes, les deux plans tangents que nous venons de considérer, et qui passent par la même normale, sont rectangulaires entre eux ; donc les coefficients de leurs équations auront entre eux la relation suivante :
P'P" is q'q” de lt —0,:
On aura donc, entre les coordonnées des deux surfaces des cen-
