DES PLANS TANGENTS ET DES NORMALES AUX SURFACES COURBES
Etant donnée l'équation d'une surface courbe, et étant pris un potnt arbitrairement sur cette surface, trouver, 1° l'équation du plan tangent à la surface en ce point; 2° les équations de
la normale au méme point.
l. Soit représentée par M — o l'équation donnée de la surface courbe : si on la différentie, on aura une équation de la forme
suivante, z l dz — = dx —- ) dy, dx, NL) 7 0 LAS) ‘dz e dans laquelle les quantités ee ; 3) sont en æ, y ,-z, les coefliæ) &.
cients de dx et dy dans la valeur de dz. Comme la valeur de z est donnée en x, y, par l'équation M — o, on peut toujours conce-
e : PE: 4) A voir que cette valeur soit substituée à la place de z dans les quan-
tités LE ) 4 \ obtenues par la différentiation, et que ces dx dy
quantités soient des fonctions connues de x, y.
Soient de plus x’, y’, 3’ les coordonnées du point pris arbitrairement sur la surface; l’équation M — o aura lieu entre ces trois coordonnées, et l’on aura de même
dz' 1z' de =(E) de + (E)dr',
À ; ME dz' dz' équation dans laquelle les quantités 2 \ et. (TZ À sont composées dx’ dy’
A . ro IL d de x’ et y”, de la même manière que les quantités (%) et (F a)
sont composées de æ et y.
Enfin soit Ax + By + Gz-+ D — o l’équation demandée du plan tangent.
On déterminera D par la considération que le plan doit passer par le point donné, ce qui donnera
Quant aux trois autres coefficients A, B, C, dont deux seulement sont nécessaires, on les déterminera par la considération que le plan doit être tangent à la surface dans le point donné. Or, le plan sera tangent si, en prenant sur le plan un point infiniment voisin du point donné, ce point se trouve aussi sur la surface courbe, suivant quelque direction d’ailleurs qu'il ait été pris; c’est-à-dire, si l'équation différentielle du plan, prise pour le point dont les coordonnées sont x’, y’, z", est identique avec l'équation différentielle de la surface prise pour le même point. Mais, pour le même plan tangent, les coordonnées
— w] — Fran ‘équation différentielle énéral æ ,Y ,2z etant constantes, I équation ditérentielle est, en general, Adx + Bdy + Cdz — 0, et pour le point donné on a
Adx'"-+ Bdy" + Cdz'— 0
celle de la surface courbe pour le même point est
dz! — (F ) AL (%) dy":
il faut donc que les deux dernières équations soient identiques, quelles que soient les valeurs de dx” et dy’, qui sont arbitraires.
CSL HD ON CAT USE): (EEE dy" }?
done enfin l’équation demandée du plan tangent sera
F { dz' dz' z— = (x—x") ei En Cr)
2. La normale étant perpendiculaire au plan tangent, et devant passer par le point donné sur la surface, ses équations se trouveront, d’après celle du plan tangent, par les formules de la page 10,
° partie, et seront
Donc on aura
dz' ? z) Lz va +(s—x) (SE) =, FES AE Ne res D)= 0.
Autrement. Si lon conçoit une sphère dont le centre soit place au point considéré sur la surface courbe, et dont le rayon soit «, l'équation de la surface de cette sphère sera
ea") + (7) + (21) — à
Si l’on conçoit ensuite que le centre se meuve sur la surface courbe dans une direction quelconque, et parcoure l'arc infiniment petit d’une courbe, la surface de la nouvelle sphère coupera
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celle de la première dans la circonférence d'un cercle, dont le. plan sera perpendiculaire à l’arc parcouru par le centre, et qui sera normal à la surface courbe. Pour tous les points de cette circonférence, les coordonnées x, y, z n’auront pas varié, quoique les coordonnées du centre x”, y", "aient changé de grandeur. Si donc on différentie l'équation de la surface de la première sphère, en regardant x, y, z comme constantes, et en faisant varier x”, y”, z’, l'équation qu’on obtiendra ne sera vraie, par rapport aux points de la surface de la‘ sphère, que pour ceux qui sont sur la circonférence du cercle, et dans l'intersection commune des deux sphères consécutives. Cette seconde équation ayant pour objet de distinguer sur la surface de la sphère les points qui sont sur la circonférence du cercle, ne peut être autre que l’équation du plan même de ce cerele, et par conséquent celle d’un plan normal à la surface courbe, mené par le centre de la sphère, et dont la position dépend d’ailleurs de la direction du mouvement de ce centre sur la surface courbe. Donc, si l’on fait deux fois la même opération, en donnant au mouvement du centre deux directions différentes, on aura les équations de deux plans normaux à la surface, menés par le même point, et qui, par leur intersection, détermineront la normale.
Les directions des mouvements du centre étant arbitraires, on pourra supposer que l’une soit dans une section perpendiculaire aux y, et pour laquelle x''sera constante, et que l’autre soit dans une section perpendiculaire aux +, et pour laquelle y’ sera constante. Donc, si en regardant X, Ÿ, z COMme constantes, on différentie l'équation de la surface de la sphère, d’abord en ne faisant varier que +’, puis en ne faisant varier que y”, les deux équations
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