XX X

Du rayon de courbure et des différents genres d'inflexions des

courbes a double courbure.

On appelle point d'inflexion, dans une courbe plane, le point où cette ligne, après avoir été concave dans un sens, cesse de l’être pour devenir concave dans l’autre sens. Il est évident que, dans ce point, la courbe perd sa courbure et que les deux éléments consécutifs sont en ligne droite. Mais une courbe à double courbure peut perdre chacune de ses courbures en particulier, ou les perdre toutes deux dans le même point ; c’est-à-dire qu’il peut arriver ou que trois éléments consécutifs d’une même courbe à double courbure se trouvent dans un même plan, ou que deux de ces éléments soient en ligne droite. Il suit de là que les courbes à double courbure peuvent avoir deux espèces d’inflexions : la première a lieu

EUTE — lorsque la courbe devient plane, et nous l’appellerons szmple in-

flexion; la seconde, que nous appellerons double inflexion, a lieu lorsque la courbe devient droite dans un de ses points.

Trouver la formule qui donne les points de simple inflexion des Le courbes a double courbure.

SoLuTION. Nous avons vu (art. X VII) que lorsqu'une courbe à double courbure a un point de simple inflexion, ou, ce qui revient au même, que lorsqu'elle devient plane, la partie correspondante de la surface développable, qui est le lieu de ses développées, devient cylindrique, et que, par conséquent, les deux arêtes consécutives de cette partie de la surface sont parallèles. Il suit donc de là que le point de rencontre de ces deux arêtes est infiniment éloigné, ou les coordonnées de ce point sont infinies. Or nous avons donné (art. XXIV) les valeurs générales de ces coordonnées, qui sont toutes trois rendues infinies en égalant à zéro le dénominateur commun : donc la formule, pour trouver les points de simple inflexion, est

\d'xg"x ei g"x dx = 0, ou

ddzd°'y — ddyd°z— 0;

et la valeur de x, tirée de l’une ou de l’autre de ces deux formules, sera celle de l’abscisse qui convient au point demandé.

RENE X LE On aurait pu trouver cette formule par un raisonnement beaucoup plus simple. En effet, puisque dans le point de simple in-

flexion, la courbe à double courbure devient plane, il faut que,

dans ce point, les équations de la courbe satisfassent à l'équation

générale du plan : or cette équation générale est

2 = AX + by +.c.

Si donc on différentie trois fois cette équation à cause des trois constantes, ce qui donne

dz — adx + bdy, ddz = bddy, Hire 0

et qu'on élimine « et b de ces trois équations, on trouvera ddyd°z — ddzd°y = 0,

équation de condition qui doit être satisfaite pour que ces trois éléments consécutifs d’une courbe à double courbure soient dans un même plan, et qui est la même que celle que nous venons de donner dans le problème précédent.

XXXIIT.

Trouver l'expression du rayon de courbure d’une courbe à double. 1 À

courbure quelconque.

SoLuTIon. Dans tout ce qui précède, nous avons bien distingué . les rayons de développées d’une courbe à double courbure de son rayon de courbure. Nous avons vu que, dans chaque point, une courbe quelconque a une infinité de rayons de développées, parce qu'elle a une infinité de développées différentes ; mais que, dans chaque point, elle n'avait qu’un rayon de courbure, et qu’on trouvait ce rayon en abaissant une perpendiculaire du point de la courbe … sur l'intersection du plan normal avec le plan normal infiniment

Voisin.

Or nous avons donné (première partie) l'expression de la perpendiculaire abaissée d’un point donné sur une droite dont on connaît les équations de projections ; de plus, nous avons trouvé (art. X XII), pour équations de l'intersection du plan normal avec celui qui le suit Dan

(z—dx')d'x + (y —ox)g x +x—x —o, get) at (y qu) gl Ti (ga) + (Wa) ]— 0;

d'où l’on tire les trois équations suivantes, qui sont celles des trois

projections de cette droite :

JP LH 24e — [ri (pa) + (d'a) + ba dax + quo" x ]— 0, apr + y (fra —p'a'dlx ee Y'x'[r1 + Re =.

! lo

+ x'dlx—px'(d'x'o —g'x'Yx!) |

at en AR

Rp Tr LE x dx) (Re à

: À Li Es ent nl Cu A Hot — 2(brp x —9 x dx} xp

Si l'on compare actuellement ces trois équations avec celles de la droite données dans la première partie, on trouvera, pour expression du rayon de courbure d’une courbe à double courbure quel-

conque, 2 oo Dæ(ge)e (pay V (px) + (4x") + (4 x UPS D'x Wa F7

Nous avons aussi donné (première partie) les expressions des coordonnées du pied de la perpendiculaire abaissée d’un point sur une droite; si l’on substitue encore dans ces formules les valeurs ci-dessus, on trouvera, pour coordonnées du centre de courbure

d'une courbe quelconque, dans le sens des x,

| DITES g'xglx+ÿ'xÿla | TX — [1 ÊTES (g'x) bi 26 (d'x) | (ox) + (dx) + PEN ro x —-QUEd re , 53,

VOATOVES

dans le sens des y, gx — d'x(b'xplx —v'xd'x) à pra) + (pla) + (J'xga + page)?

px+ [14 (ex) + (Va) ]7

et dans le sens des z, [14 / LE (! SA NL 1.2 112 Yx—®'x(d'xp/x—7'xd"x)

Ÿ + | + (® ) + (N ) | (o/x) + (dx) + (d'x ox — 9x dx)? De manière qu’à l’aide de toutes ces formules, on peut non-seulement connaître la courbure, en un point quelconque, d’une courbe à double courbure, mais encore assigner le sens de sa courbure, puisqu'on peut connaître dans l’espace la position de son centre de courbure.

XXX V

Trouver la formule qui donne les points de double inflexion des

courbes à double courbure.

SoLurTion. Il suit de la définition que nous avons donnée (art. XX X) de la double inflexion, que, toutes les fois qu’elle aura lieu, le rayon de courbure sera — x ou —o, c’est-à-dire qu'on aura

(g"x) + (x) + (W'xg"x — ox dx)" — 0 où — +.

Le premier membre de cette équation étant la somme de trois

carrés, on doit avoir D'x—0 ou ©; dxr—0o ou ©; d'xg'x—v xx —0o où w. La troisième équation étant une suite des deux premières, la for-

mule pour trouver les points de double inflexion sera

x =0 ot DE NT oo u ce ou bien DEV TO OU ER RE EEE LOU RCON Il est inutile de remarquer que la même formule donne aussi les

points de rebroussement.