EME

Pour construire l'intégrale que nous venons de trouver, consi-

dérons d’abord que si l’on avait séparément les deux équations

z = (y + ax),

elles seraient celles de deux surfaces cylindriques à bases quelconques, parallèles, l’une à la droite menée par l’origine dans le plan des +, y, et qui aurait pour équation

YŸ + 4aX = 0,

l \ . r A + A autre à la droite menée par le même point, dans le même plan, et

qui aurait pour équation YŸ — AX = 0;

et les bases de ces deux surfaces cylindriques, considérées dans le plan des y, z, auraient pour équations, lune TRE H x et l'autre A eye

Donc, si après avoir mené par l’origine dans le plan des x, y deux droites situées de part et d'autre de l’axe des æ, et qui fassent avec cet axe le même angle dont la tangente est a; et si, après avoir tracé dans le plan des y, z deux courbes arbitraires destinées à être

les bases des surfaces cylindriques, on conçoit que le plan d’une

de ces bases se meuve parallèlement à lui-même le long de la pre-

REP me

mière droite, et que le plan de l’autre se meuve parallèlement à lui-même le long de la seconde, on engendrera deux surfaces cylindriques telles, que si, pour un point quelconque pris sur le plan des x, y, On construit une ordonnée z égale à la somme des ordonnées des deux surfaces cylindriques, l'extrémité de cette ordonnée sera dans la surface demandée.

Ainsi, pour construire la surface par points, il ne s’agit plus que de déterminer quelles doivent être les bases des deux surfaces eylindriques, pour que la surface satisfasse aux conditions particulières que comporte la question des cordes vibrantes.

Au lieu de construire la surface par points, on peut l’engendrer par le mouvement de l’une ou de l’autre de ses deux caractéristiques. En effet, si par les deux droites tracées dans le plan des +, y, et dont les équations sont

7 D, lte—10,

Ms A0te-=10),

on conçoit deux plans perpendiculaires à celui des x, y, et qui se couperont, par conséquent, dans l’axe des z, chacun de ces plans coupera celle des deux surfaces cylindriques à laquelle il n’est pas parallèle, suivant une trace que l’on pourra regarder comme une autre base de cette surface. Si l’on conçoit que le plan de l’une quelconque de ces traces se meuve parallèlement à lui-même sans tourner, de manière que le point de ce plan qui est à l’origme parcoure l’autre trace (ce qui peut se faire de deux manières, selon que c’est l’une ou l’autre trace qui est regardée comme mobile), la trace mobile engendrera la surface dont il s’agit; car il est évident que, pour chacun des points de la surface engendrée, l’ordonnée z

sera égale à la somme des ordonnées correspondantes des deux surfaces cylindriques, et que l'équation de cette surface sera

z—=d(y+ax) + Y(y Max).

Il faut observer que les deux traces génératrices ne sont autre chose que les deux caractéristiques, car ces traces sont dans des

plans mobiles dont les équations sont, pour l’une,

: —- ax —— (9 "s pour l’autre, LA 2e es nd ñ 4 = j ax — X , +:

sr t Q , là 4 2h S , . .

et que les quantités x, « , dont chacune est [y à l’origine du plan correspondant, sont constantes chacune pour la trace à laquelle elle appartient.

Or les deux traces sont faciles à construire d’après les bases des deux surfaces cylindriques ; done, pour engendrer la surface par le mouvement de l’une de ses caractéristiques, il ne s’agit plus que de déterminer quelles doivent être les bases des deux surfaces cylindriques pour que la surface satisfasse aux conditions que comporte la question des cordes vibrantes.

Examinons quelles sont ces conditions.

AE } Dans l'équation des cordes vibrantes, la quantité y exprime le 4 * temps écoulé depuis l'instant où la corde, ayant été écartée de sa position en ligne droite, a été subitement abandonnée à elle-même; » et, pour chacune des formes que la corde prend ensuite successi- * vement, cette quantité y est constante. Or, en géométrie, nous vs cette même quantité comme une des trois coordonnées

— rectangulaires. Donc, si l’on concoit que du moment que la corde Gr

DT es

est abandonnée à elle-même, le plan des x, z dans lequel s’exécutent les vibrations se meuve uniformément sans tourner, et restant toujours perpendiculaire aux y, la corde vibrante, entraînée par ce plan mobile, parcourra une surface qui est celle qu'il s’agit de construire; et il est évident que toute section faite dans cette surface par un plan quelconque perpendiculaire aux y donnera la figure de la corde pour le temps y qui détermine la position du plan coupant.

(PL IV, fig. 2.) Cela posé, on suppose que les deux extrémités À, B de la corde sont fixes et ne participent pas aux vibrations; ces deux points n’auront done aucun mouvement dans le plan mobile, et 1ls parcourront dans le plan des x, y des droites AC, BD perpendiculaires aux +. D'où il suit que la surface engendrée passera,

1e Par la droite AC ; GER Par la droite BD.

3°. Il est évident que la surface doit passer par la courbe suivant laquelle elle a été pliée dans le plan des x, z au commencement du mouvement ; courbe qui doit être donnée arbitrairement et connue. Nous la supposons ici couchée sur le plan des x, y en AMB.

qu'on abandonne la corde à elle-même, la vitesse de la droite AB

Enfin, au commencement du mouvement, c’est-à-dire lors-

est naissante, et par conséquent nulle : l’ordonnée d’un point quelconque de la courbe donnée AMB doit donc être un maximum dans le sens des y; donc, sur la surface, et pour tous les points de la courbe initiale AMB, on doit avoir

= dy 0

Il suit de là que la surface doit être perpendiculaire au plan des =

x, z dans toute l’étendue de cette courbe.

HD 7 1 aus

Voilà donc quatre conditions indépendantes auxquelles les bases des deux surfaces cylindriques, ou les deux fonctions ® et #, doivent satisfaire, pour que l'intégrale générale

z — ® ri mire ax ) EC en — ax)

convienne au cas particulier des cordes vibrantes ; tandis que si les deux fonctions qui entrent dans cette équation étaient composées de la même quantité, et affectées de coefficients pour n'être pas réductibles à une seule, deux de ces quatre conditions suffiraient pour les déterminer toutes deux d’une manière complète.

Recherchons actuellement ce que chacune des quatre conditions que nous venons d'exposer exige de la part des deux bases des surfaces cylindriques.

(PL IF, fig. 2.) L'origine des coordonnées rectangulaires étant placée au point À, qui est l’une des extrémités de la corde vibrante, il est évident que les deux équations de la droite AC sont

Or la première condition énonce que la surface doit passer par cette droite; il faut donc que si l’on substitue pour + et z ces valeurs dans l'équation

z—D(y+ax) +W(y— ax}, cette équation soit satisfaite ; on aura donc ®Y + FWy —0;

ce qui établit une première relation entre les deux fonctions arbi-

traires ®, W. Il suit de là que les bases des deux surfaces cylin- Gr.