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On sait que lorsqu'une équation aux différences partielles du second ordre est linéaire ou de la forme

Dr =EIMSEENNEEE on a pour chacune de ses deux caractéristiques les deux équations

Ldy® — Mdxdy + Ndx° — 0, Ldpdy + Ndqdx = H dx dy.

Dans le cas de l'équation des cordes vibrantes 7 — a*t— 0, on aura

donc pour chacune des deux caractéristiques les deux équations

dy° — a*dx* O,

dpdy — a dqdx — 0.

La première est composée des deux facteurs

dy + adx — 0,

dy — adx = 0, >.

dont les intégrales sont VE ar — «,

Ÿ — AL —= UK.

Ce qui prouve que la surface a deux caractéristiques indépendantes; que chacune de ces courbes est dans un plan perpendiculaire à celui des x, y, constamment parallèle à lui-même; et que ces deux plans font avec la ligne des x, et de part et d'autre de cette ligne, des angles égaux entre eux, et dont la tangente est égale à la constante a.

En ne considérant que la première des deux caractéristiques, et substituant pour dy la valeur — adx qui lui convient, la seconde

équation devient dp + adq = 0, dont l'intégrale est

Po taGE— tp

Les quantités «, B sont donc toutes deux constantes pour la première caractéristique; elles seront, par conséquent, fonction l’une de l’autre pour tous les points de la surface, et l’on aura

B — pa.

+ a Ainsi p + ag = (y + ax) sera une des intégrales premières de la proposée, et cette intégrale sera complétée par la fonction arbitraire @.

De même, en ne considérant que la seconde caractéristique, et substituant pour dy la valeur adx qui lui convient, la seconde

équation devient dp — adq = 0, dont l'intégrale est

eut HET NUL —= & .

Les quantités 4”, 5” seront donc aussi toutes deux constantes pour la seconde caractéristique; on en conclura pareillement que la seconde des deux intégrales premières de la proposée est

p— ag = (y — ax),

complétée par la fonction arbitraire \. Ainsi les deux intégrales premières sont

p + ag = @(y + ax), p— aq = (y — ax).

De ces deux équations on tre, pour p et q, les valeurs suivantes : 2 PE © +1, 2 aq =" —v}, qui, substituées dans dz = pdx * qgdy, donnent 2 adz = (dy + adx)@ — (dy — adx)\,

équation aux différences ordinaires qui est intégrable par les quadratures, quelles que soient les formes des deux fonctions, et dont l'intégrale est de la forme

z—=d(y + ax) + Y(y — ax).

sat

Me

C'est cette équation qui est l’intégrale seconde de la proposée, et qui est complétée par les deux fonctions arbitraires ® et Y, composées des quantités différentes y + ax, y — ax.