TUE

jacent , ut, inde ab origine abscissarum, axes ipsarum x, y, z resp. (e. g. si tum e tribus lineis illis, tum e tribus his, prima sinistrorsum , secunda dextrorsum , tertia sursum directa concipi potest), solutio prima adoptari debet ; quoties autem situs mutuus trium linearum priorum oppositus est situi mutuo axium ipsarum x , y, 3, solutio secunda valebit.

In methodo tertia dispiciendum est, utrum, dum z incrementum positivum accipit, manentibus x et y invariatis, transitus fiat versus plagam exteriorem an interiorem. În casu priori, pro normali extrorsum directa, solutio prima valet , in posteriori secunda.

NLTe

Sicuti, per translatam directionem normalis in superficiem curvam ad superficiem sphæræ, cuivis puncto determinato prioris superficiei respondet punctum determinatum in posteriori , ita etiam quævis linea, vel quævis figura in illa repræsentabitur per lineam vel figuram correspondentem in hac. In comparatione duarum figurarum hoc modo sibi muiuo correspondentium , quarum altera quasi imago alterius erit, duo momenta sunt respicienda : alterum, quatenus sola quantitas consideratur; alterum, quatenus abstrahendo a relationibus quantitativis solum situm contemplamur.

Momentum primum basis erit quarundam notionum, quas in docirinam de superficiebus curvis recipere utile videtur. Scilicet cuilibet parti superficiei curvæ limitibus determinatis cinctæ curvaturam totalem seu integram adseribimus, quæ per aream figuræ illi in superficie sphærica respondentem exprimetur. Ab hac curvatura integra probe distinguenda est curvatura quasi specifica, quam nos mensuram curvaturæ vocabimus : hæc posterior ad punctum superficiei refertur, et denotabit quotientem qui oritur, dum curvatura integra elementi superficialis puncto adjacentis per aream ipsius elementi dividitur, et proin indicat rationem arearum infinite parvarum in superficie curva et in

superficie sphærica sibi mutuo respondentium. Utilitas harum innovationum

per ea, quæ in posterum a nobis explicabuntur, abunde, ut speramus, sancietur.

Quod vero attinet ad terminologiam , imprimis prospiciendum esse duximus , ut omnis ambiguitas arceatur, quapropter haud congruum putavimus , analogiam terminologiæ in doctrina de lineis curvis planis vulgo receptam (etsi non omnibus probatam) stricte sequi, secundum quam mensura curvaturæ simpliciter audire debuisset curvatura, curvatura integra autem amplitudo. Sed quidni in verbis faciles esse liceret, dummodo res non sint inanes, neque dictio interpretationi erroneæ obnoxia ?

lo

Situs figuræ in superficie sphærica vel similis esse potest situi figuræ respondentis in superficie curva, vel oppositus (inversus); casus prior locum habet, ubi binæ lineæ in superficie curva ab eodem puneto directionibus inæqualibus, sed non oppositis, proficiscentes repræsentantur in superficie sphærica per lineas similiter jacentes, puta ubi imago lineæ ad dextram jacentis ipsa est ad dextram ; casus posterior, ubi contrarium valet. Hos duos casus per signum mensuræ curvaturæ vel positivum vel negativum distinguemus. Sed manifesto hæc distinctio eatenus tantum locum habere potest, quatenus in utraque superficie plagam determinatam eligimus, in qua figura concipi debet. In sphæra auxiliari semper plagam exteriorem , a centro aversam, adhibebimus : in superficie curva etiam plaga exterior, sive quæ tamquam exterior consideratur, adoptari potest, vel potius plaga eadem, a qua normalis erecta concipitur ; manifesto enim respectu similitudinis figurarum nihil mutatur, si in superficie curva tum figura ad plagam oppositam transfertur, tum normalis, dummodo ipsius imago semper in eadem plaga superficiei sphæricæ depingatur.

Signum positivum vel negativum, quod pro situ figuræ infinite parvæ mensuræ curvaturæ adscribimus , etiam ad curvaturam integram figuræ finitæ in superficie curva extendimus. Attamen si argumentum omni generalitate amplecti suscipimus, quædam dilucidationes requiruntur, quas hic breviter tantum attingemus. Quamdiu figura in superficie curva ita comparata est, ut singulis punctis intra ipsam puncta dversa in superficie sphærica respondeant, definitio ulteriori explicatione non indiget. Quoties autem conditio ista locum non habet, necesse erit, quasdam partes figuræ in superficie sphærica bis vel pluries in computum ducere, unde, pro situ simili vel opposito, vel accumulatio vel destructio oriri poterit. Simplicissimum erit in tali casu, figuram in superficie curva. in partes tales divisam concipere, quæ singulæ per se spectatæ conditioni illi satisfaciant , singulis tribuere curvaturam suam integram, quantitate per aream figuræ in superficie sphærica respondentis, signo per situm determinatis, ac denique figuræ toti adscribere curvaturam integram ortam per additionem curvaturarum integrarum, quæ singulis partibus respondent. Generaliter itaque curvatura integra figuræ est — fkds, denotante do elementum areæ figuræ, k mensuram curvaturæ in quovis puncto. Quod vero attinet ad repræsentationem geometricam hujus integralis, præcipua hujus rei

- momenta ad sequentia redeunt. Peripheriæ figuræ in superficie curva (sub

restrictione art. IT) semper respondebit in superficie sphærica linea in se ipsam rediens. Quæ si se ipsam nullibi intersecat, totam superficiem sphæricam in duas partes dirimet, quarum altera respondebit figuræ in superficie curva, et cujus area, positive vel negative accipienda, prout respectu peripheriæ suæ