ET

à turæ k expressionem symetricam sequentem :

= Sie 4 (PP + QQ+RR)"k

e. = PP (Q'R' LÀ PFEPEE QQ sis Vers Q’Q") "E RR (P’ œ 53.4 RAR)

| EN QR (Q'R’ — PER A PR (P'R'— (HO) DES PQ(P’Q" Ke R’ ReN

Formulam adhuc magis complicatam, puta e quindecim elementis conflatam , obtinemus, si methodum gêneralem secundam, indolem superficierum curva- rum exprimendi, sequimur. Magni tamen momenti est, hanc quoque elaborare. Retinendo signa art. IV, insuper statuemus

ddx ddx __ , ddx LAN 3 OICONC TS OROMU7E ?

ddy ddy ddy Hi RSI oi te ddz ddz LI à Fr NS pd ME TT age | M " ; ge Præterea ,*brevitatis causa , faciemus bc'— cb'— A, ® ca '— ac'—B, "4 # ab'.—"bat—=.C ‘7 Primo observamus, haberi RL Poe. ‘ Adx +Bdy +Cdz=—0, A" 2 Ra B #4 PR AL l «

SE * ; 4 . L enus 11aque Z spectatur tanquam functio ipsarum x, y, fit 2

os | das 4 Lt TN - e d e* dx C es . à f » pa # d ” 4 A D < La Fi dy € C ” Li

+ Porro deducimus, ex dx = adp + a'dq, dy = bdq + b'dq;, Cdp = b'dx — a'dy, Cdg = — bdx + ady. Hinc obtinemus differentialia completa ipsarum #, u,

Cdt = [AT —C mn (ax — a'dy) + (cr — AT) (bdx — ady), dB

D dû Ca (BTE Te a) (Hart e dy) + (cr —B me) (Pan

Jam si in his formulis substituimus

To = c'B + by —c6—b';, F = cf! + by" — cÉ"e- DER = a'y+ca'— ay —c'a; T = ay + ca"— ay" — c'a', .

= bla + af! — ba! — a'B,

aique perpendimus , valores differentialium dt, du sic prodeuntium, æquales esse debere, independenter a differentialibus dx, dy, quantitatibus Tdx+ Udy, U dx + Vdy resp., inveniemus, post quasdam transformationes satis obvias ,

CT — ADD + GBb'b + yCb'b' — 2 &«'Abb'— 26G'Bbb — 27 Cbb' + a'Abb + f"Bbb + y"Cbb,

ŒU — — œAa'b'—BBa'b — yCa'b + a'A (ab'+ ba’) + G'B(ab'+ ba’) + y'C(ab'+ ba) — a"AÀ ab —f5"Bab—7"Cab, |

CV — cAa'a'+/GBa!'a' + 7yC'a'a! “sl — 2 a'Aau!— 2f'Baa'— 2 y 'Caa' + a" A aa + 5"Baa + y"Caa

— bor — - »

Si itaque, brevitatis causa, statuimus

Du) > Aa + BG + Cy =D, (2) Aa! + BB! + Cy =D’, (3) , A'o te B£” + ES i à Li fit L CT = Dé'b'-55D'B8 + D’, GU— Da + D'(ab" + ba!) — D'ab,

” CV —Da'a' — 2D'aa!+ D'aa.

L Hinc invenimus, evolutione facta, CS (TV — UU) — (DD’ — D'D') (ab'— ba!) = (DD”—D'D')CC, et proin formulam pro mensura curvaturæ

1e DD” — D'D’ (AA + BB + CC}

Formulæ modo inventæ jam aliam superstruemus, quæ inter fertilissima theoremata in doctrina de superficiebus curvis referenda est. Introducamus sequentes notationes

aa + bb +cc—E, aa! + bb + cc'—F, aa! + bb+c'c=G, aa + bG + cy = m, a+ bG'+ cy — m!, au! + bE"+ cy!= m',

à a'a+ bÉ+cy—= n,

‘4 # ala!+b'B'+cy— n!, En. - all Br cle n', AA BB +CC—EG—FF — A,

Eliminémus ex æquationibus (1), (4), (7) quantitates 6, y, quod fit multi-

plicando illas per bc'— cb, B'C — c'B, cB— BC, et addendo : ita oritur |

[A(bc'— cb’) + a(b'C—c'B)+a'(cB—BC)]a | = D(bc'— cb')+m(blC—c'B) + n(cB—28C),

quam æquationem facile transformamus in hanc AD=aA+a(nF—mG)+a{(mF"—nE). |

Simili modo eliminatio quantitatum «, y vel &, B ex iisdem æquationibus sup-

peditat BD=—SA+b(nF—mG)+b(mF—nE),

CD= yA + c(nF—mG)+c{(mF—nE).

Multiplicando has tres æquationes per «/, 6, y”, et addendo, obtinemus (ro) DD'= (aa"+B8"+ 77") A + m'(nF—mG)+n"(mEF— 71E). Si perinde tractamus æquationes (2), (5), (8), sus | AD'— A +a(n'F—mG)+a(mEF— n'E) ; à BD'=—£'A+b(n'F—mG)+b'(mF—nE#E), CD'= y'A+c(n'F—mG)+ c'(m'F—n'E) ’ quibus æquationibus per &/, G/, y! multiplicatis, additio suppeditat D'D'—(2'a'+fB'f+yy)A+m(nF—mG)+ n'(mF—nE) j Combinatio hujus æquationis cum æquatione (10) producit

DD’— D'D/— (aa! + EE"+ yy"— aa! — BE — 77") 4

+E(atn'— nn") +F(nm'—om'nr + mn") +6G (mm — mm").

Jam patet esse | ge #4

Er. LEE PCIe CEE |

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