SP

tarum æ transeunte , oriri curvam planam , cujus radius curvaturæ in puncto A fiat — 7 Signo positivo vel negativo indicante concavitatem vel convexitatem

versus plagam eam, versus quam coordinatæ z sunt positivæ.

2. Simili modo % rit in puncto À radius curvaturæ curvæ planæ, quæ oritur

per sectionem superficiei curvæ cum plano per axes ipsarum y, z transeunte. 3. Statuendo x —rcospy—rsiny, fit z —=#% (T cos ?° + Vsino®)rr4+.0,

unde colligitur, si sectio fiat per planum superficiei in À normale et cum axe ipsarum x angulum 9 officiens, oriri curvam planam, cujus radius curvaturæ

in puncto A sit

# T cos eg? + Vsing?

4. Quoties itaque habetur T = V, radii curvaturæ in cunctis planis normalibus æquales erunt. Si vero T'et V sunt inæquales, manifestum est, quum cos p° + Vsin®* pro quovis valore anguli o cadat intra ,T et V, radios curvaturæ in sectionibus principalibus, in À et 2 consideratis, referri ad curvaturas extremas, puta alterum ad curvaturam maximam, alterum ad minimam, si T et V eodem signo affectæ sint; contra alterum ad maximanm convexitatem, alterum ad maximam concavitatem, si Pet V signis oppositis gaudeant. Hæ conclusiones omnia fere continent quæ ill. Euler de curvatura

superficierum curvarum primus docuit.

5. Mensura curvaturæ superficiei curvæ in puncto À autem nanciscitur expressionem simplicissimam k = TV, unde habemus :

Taeorema. Mensura curvaturæ in quovis superficiei puncto æqualis est Jractiont, cujus numerator unitas, denominator autem productum duorum radiorum curvaturæ extremorum in sectionibus per plana normalia.

Simul patet, mensuram curvaturæ fieri positivam pro superficiebus concavoconcavis vel convexo-convexis (quod discrimen non est essentiale), negativam vero pro concavo-convexis. Si superficies constat e partibus utriusque generis, in earum confiniis mensura curvaturæ evanescens esse debebit. De indole superficierum curvarum talium , in quibus mensura curvaturæ ubique evanescit, infra pluribus agetur.

& - à MOIS Je

2 M I { ee . :

LEE + nr r L Le 2 É Ea / il °

Formula el, ro mensura curve turæ in fine art. VIT pro osita,omnium 8 P |

simplicissima est, quippe que. quinque tantum elementa implicat; ad magis complicatam, diet novem elementa involventem deferimur, si adhihere volumus modum primum indolem superficiei eurvæ exprimendi. Retinendo

notationes art. Re ; insuper statuemus

TANIERES EURE ZA We Ze PE, 0 TRES.

dd W y ddW > ALLAN LR == SR == R’ dy dz ne dx dz Q D. Ardr ita ut fiat dP = P'dx + R'dy + Q'dz, dQ = R'dx + Q'dy + P’dz, dR — Q'dx + P'dy + R' dz.

Poe : ne. Me Jam quum habeatur 1 — — F nvenimus per differentiationem

RRdt=—RdP + PdR = (PQ"— RP’) dx + (PP/ — RR’)dy

+ (PR'—RQ")d4z, Sive , eliminata dz adjumento æquationis Pdx + Qdy + Rdz — 0, R°di = (—RRP' + 2 PRQ” — PPR'}dx + (PRP/ + QRQ" — PQOR’ — RRR/ dy...

Prorsus simili modo obtinemus R°du = (PRP” + QRQ"— PQOR’ — RRR’) dx * + (—RRQ'+ 2 QRP’ — QQR')dy.

P Hinc itaque colligimus

Substituendo hos valores in formula art. VIT, obtinemus pro mensura curva-.

PE EE Er, e # PET RER 7) ; =.

: SES nd à : ñ , né -