PO
: R “ Et quum æquatio manifesto independens esse débeat a directione initiali, hane ad libitum accipere licet. Statuendo itaque in forma secunda N'—0, vel in prima M'— 0, obtinemus rqualiss ‘sequéntes :
ds 1 À | 2 VE; sin w'. dp' — VE. sin (o+ 0) —p).dp+VG.sin(w'—4) .dq, da AS HS | “ :
Ê VG'.sinw’. dg = VE. sin($ —). dp + VG.. sin Ÿ -dg;
quæ æquationes quum identicæ esse debéant cum his
À dp' = adp + B dg, dq'= ; dp + ddg,
suppeditabunt determinationem coefficientium «, 5,7, 0. Erit “ie
nr E. pce +) ce GE ES ti se + :
E’ sin w” Else ”“ « æ” ; se A ra E sin(ÿ—v) fUA G snY a eu (8 0 sine E. G’. snow Adjungi debent æquationes RME NT. Da cos © É cos ss =) sinw VE DE: ins AE tir ÿ “hf — — S —— ind ————— 0 LU ER A DUEG VE’ Gr (TRS AT PE GC
L n : La unde quatuor æquationes ita quoque exhiberi possunt # : a VEG— FF — EG. sin (o + w'—), BVE'G'— FF = GG”. sin (w' — Y), + * VE G— PE = VEE. sin (dv):
dVE/G— FE’ = VGE’.sinÿ. .-
… Quum per substitutiones dp'= à dp + Bdq, dq'= ydp + 0 dq tinomium …E'dp"°+ > Fp'. dq' de Gage transire debeat in Edp°+ 2 Fdp. dq + Gdg”, facile obtinemus
EG EF — (E/G'—F'F') (ao —By)°;
4 et quum vice versa trinomium posterius rursus transire debeat in prius per … Substitutionem us
… … (x2—67)dp =0ddp'—fdg'; («0—Py)dg = — ydp + adg,
Part 9 1 LZ 1 sy E à 4 = © 2.2 5008 — | :
invenimus :
A EG — FF F0 F0 POSE rare pp « EG —FF EGO—E (ao & Pr) + Gay er | is EBB 2 Frf Ga EE Gr
À disquisitione generali articuli præcedentis descendimus ad applicationem latissime patentem, ubi, dum p et g etiamnum significatione genéralissima accipiuntur, pro p', g', adoptamus quantitates in art. XV per r, o denotatas, | quibus characteribus, etiam hic utemur, scilicet ut pro quovis puncto superficiei r sit distantia minima a puncto determinato, atque 4 angulus in hoc puncto inter elementum primum ipsius 7 aique directionem fixam. Ita habémus E'=2
F'— 0, w'=— 90°; statuemus insuper VG’— m, ita ut elementum lineare quod-
cunque fiat — Vdr°? + mmdo*. Hinc quatuor æquationes in artico præcedente } pro +, B, 7; d, erutæ, suppeditant : "x "4
(1) RE je : NE ts (8 =) 2 Te | Mo # (2) » * . cos D — La (3) VE. sin (Ÿ —w) Er dp 2 “L. de % (4) VG-sinp=mt F Ultima et penultima vero has + “he 4 di ‘dr \ 2 dr dr , f{dr\?
(5) FG—FF=E (T) ia CG) | LR 1e dr dé dr dr de ï 4 1 ; (6) CRE A DS
Ex his æquationibus petenda est determinatio quantitatum r, 9, Ÿ et (si opus videatur) m, per p et g: scilicet integratio æquationis (5) dabit r, qua inventa,, integratio æquationis (6) dabit +, atque alterutra æquationum (1). (2)
ipsam : denique m habebitur per alterutram æquationum (3), (4). 30
MATE # * | * Ê PLU à / “h :# £
# - .® SN A ORSETS Hana generalis duétiéttam (>), (6) necessario duas functiones arbitrarias .introducere debet, quæ quid'sibi velint facile intelligemus, si perpendimus ,
las æquationes ad casum eum quem hic consideramus non limitari, sed perinde valere ; si r et o accipiantur in significatione generaliori art. XVI, ita ut Dsitr longitudo lineæ brevissimæ ad lineam arbitrariam determinatam normaliter j Le atque functio arbitraria longitudinis ejus partis lineæ, quæ inter eam brevissimam indefinitam et punctum arbitrarium an ar intercipitur. Solutio i itaque generalis hæc omnia indefinite amplecti debet , functionesque tbitrariæ tunc demum in definitas abibunt, quando linea illa arbitraria Len nCtio partium quam 9 exhibere debet, præscriptæ sunt. In casu nostro : lus moque parvus adoptari potest , centrum in eo puncto habens, a quo
at Lis tar
Es NES ea, quæ indefinita a tenquunt, ei conditioni accommodentur, utr et o pre ro. uüncto illo initiali que uncti tis,ab eo Infinite parum distantibus quadrenté Fe $.* * > % NS D
Ceterum quod- autinet Pets : ipsam æquationum (5), (6) constat,
nuimerantür, et o denotabit partes hujus cireuli ipsas per radium ü rnde facile colligitur æquationes (5), (6) pro casu nostro complete suf-
À at
& sit reduci posse ad. integrationem æquationum “differentialium vulgarium , FA ple umque tam intricatæ evadunt , ut parum lucri inde redundet. ra OV olutio i in series que ad usus practicos, quoties de partibus superficiei icis agitur, ab unde sufficiunt, nullis difficultatibus obnoxia est, atque sic or sue allatæ An D aperiunt, ad multa problemata gravissima sol-
venda . Hoc yero o loco exemplum unicum ad pero indolem monstrandam
à à “ se hs »:
n isiderabimus ce casum eum, ubi omnes lineæ, pro quibus p constans est,
brevissimæ DR secantes ir pro qua 9 — 0 , et quam
Leam gosgssak PA BSUURS, Sit À Ds Ryaus
LE
aga. ca, ubi ® numératur iiter 0 o o ét 18°?
Per theo art. XVI raie ta ü= 90°, F — 0, nee non G—1; statuemus insuper VE="n. Erit itaque n functio ipsarum P: q; et quidem talisy.quæ pro 9 — 0 fieri debet — 1. Applicatio formulæ in art. XVIII allatæ + L ” 68
qua q constans : jam quum linea Era cr: ipsa sit D ma.
de: Quum pro valoribus infinite parvis ipsarum p, g fieri debeat rr = PP + qqs
ubique 0 — o, patet, pro.g = 0. ubique fieri debere a = E, Hi gitur ü sl
gimus, si 7? in seriem secundum potestates ipsius q progredientem evolvatur, ; hanc habere deberg formam sequentem :
PE: + .fq + C7 + hq* +etc., ubi f,g.-h, ete., erunt on ee à ipsius p. et quidem statuemus
PP nr RO De PL die RE a PP + EC SRE Al
Léa : h— 1° —- h' P + k'pp + etc. pe
SEE pe ER : Ne #ÿ 2 n =A + f°qq + f'pqq + f'pp qq Su CT ge . RER ruspagrhe es LA 8'bq° etes, #20 à 7 Fa etc. Fr.
$" she 42 ee: q° a Re cu Le. A Er, se se Là XXIV. = à st
Æquationes art. XXIT in casu nostro suppéditant
: dr nsiny=%T, UER = neosÿ=m À,
dp Fo nn = nn (TZ) + La LL Rs + — is , — JG ie dq dp) ? dj dj dp dp :
Adjumento harum æquationum , quarum quinta et sexta jam in reliquis! nentur, series evolvi poterunt pro r, 9, Ÿ, m, vel pro quibuslibet fanctionih us” harum quantitatum , e QU cas, quæ imprinis attentione sunt di æ, hic.
L d sistemus.
series pro rrincipiet a terminis pp + qq : terminos altiorum ordinum obtinemus per methodum coefficientium indeterminatorum (*), adjumento æquatiomis 2 « : 28
NAS TE NS dr . <Ÿ* .
Calme nus n dp aq : xv 4
Fr (*) Calculum, qui per nonnulla artificia ‘paullalam. contrahi Dotest, hic adscribere à
Le. N :
superfluum duximus. * +: 00 E à .
D ww # “ L 1
( s 1 44 , x s de | L : # + TS 1 ; S les ÉD qq + eue. | < ee +sepoq + Ne ; ù bi Le | nd S)Prq | M dore … + ’ Ro habemus ducente formula UE — + —— » - | et : +, 27 dp : ee * TE 118 (A en : S'+ESS)p duree À 4 — :8°p9" — +8 PPT | 4e as ne — fn Se) pat, : ES ; | n dsrr à nec non per formulam srl Le ol ren = a+ en °ppq + s Spa + GE 1% Nr SPP FA TA M. Fe age ER La S as + 3 . À s . »
F'a 4 “ | ee Hp )Ppg°. k 1 n Êr .
& | Hinc simul innotescit angulus . Perinde ad paru anguli ç concinnius |evolrantur series pro r' cos ? atque ONE quibus inserviunt sie diffe- : - er | .
rentiales partiales a Rte ‘ea + , Re. à L 714 et d.rcos® | | dy »° #4 PP ?
RLTNREES ER cos qe sinÿ— rang: FORCE, , T'ES up à mm? i PAS d.rcosg s : de” | A À | — +. — — | pe rase cos Ÿ sin @ Zè + Res pt sin Ÿ — r cos® - + Fr Cortd dp. + mé | ap x © M PES Fe; er “APR « AT Re PS cos ÿ—rcos “ be Haas TN GS #7 hi ?' 2» > < #7 >» «ns Le de à FE | L + nn a a rcos e sin d DS TES M innt DEE Rrires PR. QE s nE 4 Ve quarum combinatio suppeditat | E Mai Fire w 7° Re: à à 4 25, 4 : * 4 4 MR as at ÿ ge 5e r sin dreoss. Er, Le». ring d. ae d FAT EN Re" es ÊTRE ONE cr Ke Fu Ans r sing. k 2 À # UE ê œæ » pes ui …$ 5: ” > MS ee TE Æ - ». Le à de + T >
m'LIR EEF 1
linc facile evolvuntur series pro r cos®, r'sin 9) quarum termini primi mani- -
festo esse debent p et g, puta
[4] rcosg=p+if°pqg + Sf'ppqg + (GS — ESS) piag+ etc. +:8Pd +58 PPg | sn (5}:.rénp= ge pra ft fee) Prat 18" PP4q— 358 P°99 #00, PRE E combinatione æquêtionum | [2], [3h14], [5 ] derivari posset series pro 34 -rrcos (ÿ +9), atque hine, dividendo per seriem [1], series pro cos + Fu
a qua ad seriem pro 1ps0 angulo d + descendere liceret. Elegantius tamen, eadem obtinetur sequenti modo. Differentiando æquationem primam et secui bi À
dam ex is que initio hujus articuli allatæ sunt, obtinemus | en te. s 3 Re * L A m” Æ À sin ÿ LT + n cos + sin Ÿ - D =0,. tr si
qua, combinata cum hac
d ; l nos + sing. 0,
prodit sinv. d i d( 5 r sind. dn D Ce A Ce CARE ñ dq 7 dp FE.
Ex hac æquatione adjumento methodi coefficientiüm indeterminatorum facile * eliciemus seriem pro Ÿ +, si perpendimus ipsius terminum primum esse de- M bere + Tr, radio pro unitate accepto , atque denotante 27 peripheriam cireuli,
ET E p ST PTE PRE CS MT LS) TETE — 8° P99 — +8 PP9q | ESS) pa Operæ pretium videtur, etiam aream trianguli ABD in seriem evolvere.
Huic evolutioni inservit æquatio conditionalis sequens, quæ e considérationibus geometricis satis obviis facile derivatur, et in qua S aream quæsitam
denotat, rsiny 4S dS __ rsinY L È ÉPRRNERLSE 7 Ed ARE © Cal
LA +” : Maui 70 |
ti ' idea, ‘ £ : LR # : * DS TD S—:pq—# Pop Je & Pile Go) il J°)pq—etc.
[ : EL fopg ES g° p' aq — » 8'p°qq — 7 f'ppq — (+ E R° + SJ" + ASS) pq" : © — Ss°pq = 8 PP"
XX V
A formulis articuli præcedentis, quæ referuntur ad triangulum a lineis . brevissimis formatum rectangulum, progredimur ad generalia. Sit C aliud
r!, 9', d', S’, eadem designent, quæ q, r, ©, d, S pro puncto B. Ita oritur trian- » gulum inter puncta À, B, C, cujus angulos per À, B, C, latera opposita per a, - b, c, aream per o denotamus; mensuraïñ curvaturæ in punctis À , B, C resp. per B, y exprimemus. Et itaque (quod fast quantitates, p, q, q— 44 esse positivas , habemus
Ante omnia areamio per seriem exprimemus. Mutando in | 7] singulas quan- Ê titates 2 ad B relatas i in cas quæ ad C referuntur, prodit ormula pro $’, unde, usque ad quantitatés sexti ordinis obtinemus
1 ” 1j (pp+4q+ qq +q'q') L | D pr(7 GNT p(G PP 799 + 7qq +79 q1) | D ed na (9 ge Ph 49 4904 q1) hs A > À $ | , adjumento seriei [2], puta *
* x pores fair fe erek ®— ct.)
a ne,
+ transit in squentem :
D up — AS p(6pp—8qq+7qq +7qq)
so lPPE— gg + gg qq") — 8° (3ppq+3ppq —6q+4qgqq +4qg'q +4")
LS ù . ’
punctum in eadem linea brevissima DB, pro quo, manente p, characteres g/, 2
« j nd . CASE 542 Mr à De Mensura curvaturæ pro quovis superficiei rie fit (per art. XIX ubi m, p, gérant quæ hic sunt-, q, p) de se, pt 1 ddn CA RE Me :
er dg 18. #19 “+ etc.
ne on 0.57 ER {ah ff) qq — etc.
Hinc fit, quatenus p, q Hu B referuntur,
B—=—92f°—2f'p—6g°q— 2 f'pp — 6g'pq —(12h°— 2f°f°)gq —etc.;
nec non
! + / (] SL 0 == 2/°=af/ pe 68 af PP — Gang (rats —2/f°f°)q'q eus a —= — 2 fi9 ; : À Introducendo has mensuras curvaturæ in serie pro & , obtinemus expressionem … sequentem, usque ad quantitates sexti ordinis (excel.) exactam,
| ED ed mmeN TR LT NL o — Lac sin B + (3 pp — 6 qq +64qq' AA UMR , + m4 (pp — 299 + gg +4q'q)
Præcisio eadem manebit, si DIODES UN dE substituimus csinB, ces Bi
c cos B— a, quo pacto prodit be
Fe 1+ + a(3aa+ Acc sen [8| gs —;acsin B + — P (3 aa + 3ec — 13 a6 608 B) Eu 7 (4aa+ 3cc— 9 ac €os B).
Quum ex hac æquatione omnia quæ ad lineam AD normaliter ad BC ductam referuntur evanuerint, etiam puncta À, B, C cum 1 correlatis inter se permu-
tare licebit, quapropter erit eadem præcisione | F : 1610 #4 PARCS 14e (3 0b +3 ce —12 be cos À [ol s= jbcsmAN +4 6(38b+4ce— 9 bé cos À
| ( + 4 | 1 + bee 9 ab cos C [ro] 2% = ab sin C Ê (4aa+3bb— 9 ab cos C) \-
) ) + 6) 4 bb +3 ce — 9 bc cos À) * ) ) “ ! Fu 3 aa + 3 bb— 12 ab cos C)
re
i% h DC...
LA
D | : #2 RARE: à
on: | | XXVI.
Magnam utilitatem affert CEE sÉNÈAT plani rectilinei, cujus latera æqualia sunt-ipsis a, b, c; anguli illius trianguli, quos per A*, B*, C*
designabimus, different ab 4 at trianguli in superficie curva, puta ab
À, B, D. quantitatibus secundi ordinis, operæque pretium erit, has differentias 'accurate evolvere. Calculorum autem prolixiorum quam difficiliorum , primaria momenta apposuisse sufficiet.
Mutando in formulis [1], [4],[5], quantitates quæ referuntur ad B in eas quæ referuntur ad C, nanciscemur formulas pro r’r', r cos, r' sin o’. Tunc evolutio expressionis 77 +r"r'—(q—q')—2rcos .r'cos® —2rsinç.r'sins’,
que fit — bb+cc—aa—2bc 'itpn 2 be (cos A* — cos 74 , combinata cum evolutione expressionis r sin@.r" cos®" — r cos®.r'sin®', quæ fit — bc sin À , suppeditat formulam sequentem :
DR (GG f°+ sfr +: ENTER)
cosA*— cos A——(g—g')psinA + fs ff) pp+ x 8g'p(q +4") sn of) (79—+-qq +g'q'hHeetc
Hinc fit porro, usque ad quantitates quinti ordinis, LH fp+ig (q+g)+Sf"pp AN — (ge gipi+ = g'p(q +0) +>:h@(gq qq #g'q" = se LT PP Te 2. 0q ET qq
. Combinando hanc formulam cum hac,
M ga a 9 9 aet)], atque cum valoribus quantitatum &, 5, y in articulo précedente allatis, obti-
nemus usque ad quantitates quinti ordinis
| ne Ce mn PP +36 P(1E 1) |
D RA SA 6 + 1%°(3 gg 2qq+3g'q') | SOS (4App—11qgq+ 14 qq —11q'q')
Per operationes prorsus similes evolvimus
| sa+iB+siy+s RARE POSE 30
[t2] B*=B—0oi+1:h°(49g— 4qq +3q'q) |
— % SOS° (2pp+8gq—8qq+11qq)
se se Bars Sri M [13] C'=C— a 2083 70e 444499 <{: Ve
serre > AP 10.7 98)
Hine simul deducimus Dee summa A* re C* duobus rectis æqualis sit, | excessum summæ À + B + C supra duos angulos rectos, puta
sa+sB+sy+sf"pp+g p(g+g) 14] A+B+Cær+o) FT : PRO (CS) (77e Hæc ultima quatio etiam formulæ [6 | superstrui potuisset.
7 X XVII
Si superficies curva est sphæra, cujus radius —R, erit
LEE 5 ES RU, EE, AE 0 0 fo — . a TR Men à Te TO, V0 0, D AE TN I REÆDAENE Cri DER + 4. r* + NN = [ralfit >
re À 7 po Abe LE
(e} AP AR men on (2PP-— 90 499 9iq 0)»
« : D ; (J 2 Xe) PR SAR on Ph 7 QUE , c c ’ ME Te IT (pp + gg+2qq —2q 4); sive æque exacte | : if (58 + CARS M C3 1 à MS TER 180 R: GS nes) e- *.
Pr Re ç D B = 3RR Ou ne | (ae M Le se?
en | ç + 2 CCE ss = (aa + bb — 20cc). . € 2
Neglectis quantitatibus quarti ordinis, prodit hinc theorema notum a clar. Legendre primo propositum. | ee
Si ’ à : LR
— L'AF—A— So(2a+ B+ y), B*'—B—50( a+28 + y),
C—=C— Soc a + B +2}).
s 7. À, B, C in superficie non sphærica reductiones inæquales applian mutatorum sinus lateribus oppositis fiant proportionales. Inæ- HAT loquendo, erit tertii ordinis; at si superficies parum a era HER illa a ordinem. altiorem referenda erit : in triangulis vel
L superficie C2 luris, quorum quidem angulos dimetiri licet, diffesé mper pro insensibili h haberi potest. Ita e. g. in wiangulo maximo inter æ annis præceden ibus dimensi sumus, puta inter puncta Hohehagen , ne érg, ubi excessus * summæ angulorum fuit — — 14/,85348, cal-
[ SRE angulis A se,
Dig pos
Le F he et à — hou L 24 Si Re | +4 FR 95104 + Inselsberg ht RÈLe —1%4,9513r.
VE ps: 7
) idis causa , adhuc comparationem areæ trianguli in superficie curva uianguli rectilinei, cujus latera sunt 4, b, c, adjiciemus. Aream poà denotabimus pero *, que fit — :bc Ar + ac sin B*— ‘ab sin C*:
DT ad quantitates ordinis quarti,
sin A*— sin À —<ocos À. (ag B + y), ; hou Lit + bccosA. (2a+B+7y)].
tituto hoc Nloiéin fus FA ferit usque ad quantitates sexti ordinis,
ee a (3 bb + 3 cc — 2 be cos A).
a=besin AM ré B(B6bâce— Abc cos A) |, i + y (4bb + 3cc — f be cos À)
' Fa 69
RE e-
sive æque exacte, | Een x
1+-Ha(aa + 2bb+ 2cc) + 5 (2e Bb+ ace) }
nur +-$ y(2aa+20b + cc)
Pro superficie sphærica hæc formula sequentem induit formam
EC SC Fuse ASE (1 da (22 + 88 + ce
Les L
cujus loco étiam sequentem salva cadem præcisione adoptari posse facile contir-
matur P*: \ : SIT , | sin À . sin B. sin C * pl c—c* SE Er dot Eu SE Ps sin A”. sin B”. sin C É DL. …
- Sieadem formula uen: in | superficie curva non sphærica applicatur, CC
| genera iter loquendo, erit quinti ordinis, sed insensibilis in omnibus triangulis “qua lia in superficie telluris € dimetiri licet.
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