BC) —Y

Donc X, qui est une fonction connue de #' et 5”, se changera en une fonction connue aussi de ÎT{) et # (v). Je désignerai cette fonction par F[ IT {u), #(v)|.

L’équation

n TC ESEN RE UEE NEC) = I

deviendra ainsi

F[N(a), V(e)] n'(u) w'() (a, v) Er.”

ou bien

FIT(u), PMR fu pr

On sait que u et ” représentent deux imaginaires conjuguées. Dès que l'une

de ces deux quantités prend une valeur déterminée, l’autre prend, par cela

mème, une valeur correspondante déterminée aussi. Ayant, en eflet, PRE © VER

on ne peut donner w sans donner æ et f , et, par suite, l’autre quantité

QU, © EÉV—:

se trouve donnée aussi. Mais cette liaison entre w et v ne fait pas que ces deux à . , . . , . 2 quantiles puissent s exprimer en fonction l’une de | autre, n1 par conséquent

qu'on puisse avoir entre elles une véritable équation, telle que Foncte(u, F0,

dont uw et ne disparaitraient pas naturellement d’elles-mèêmes, et qui four-

nirait y en fonction de w, ou & en fonction de #. En eflet, si l’on avait Aer rte B\—:1), il s'ensuivrait, en différentiant par rapport à «, Den bat),

w' désignant la dérivée de 5 : d’un autre côté, en différentiant par rapport à 6. il viendrait

IG iX 641), et l'on en conclurait l'équation absurde = --1, L'équation

Et a); (v)] IT(u) Fait) eu Le: v)

doit donc avoir lieu d'elle-même lorsqu'on met, pour IT (PETER (v), leurs valeurs. En d’autres termes , on peut y regarder maintenant # et ” comme des variables indépendantes.

Cela étant, je donne successivement, soit à w, soit à #, à v, par exemple, deux valeurs constantes 4 et b à volonté, ce qui n'empêche pas de laisser & variable. J'ai ainsi

LP CET RELIEF (ie Pre) (ir de RD ARS AMAR TAF INC

En éliminant IF (uw) par la division, on tire de là

RO(aNFIN(v} Pa) Fi, a) AVE Te) CAL 40163

Cette équation , résolue par rapport à IT (x), donnera la forme générale des seules valeurs possibles de IT (u) : je dis la forme générale, parce que l'équation contient, outre a et b qu'on prend à volonté, les constantes Ÿ (a), # (b), ŸY'(a), Ÿ'(b), qui sont encore inconnues. Ces constantes, qui peuvent être imaginaires, comme € + DY— +, entreront dans l'expression de IT{u). Quoi qu'il en soit, dans cette expression naturellement imaginaire de IT (u), changez le signe de Ÿ —1, et mettez » au lieu de u, vous aurez Ÿ (v). Enfin, il vous restera à vérifier si les valeurs de IT {u) et Ÿ(v) ainsi obtenues, et qui jusqu'ici ne sont que possibles, ont lieu en eflet, c’est-à-dire vérifient bien (du

moins en donnant aux constantes Ÿ{a),..., des valeurs convenables) l'équation FALL le MA (r) (u, be),

Il yaurait beaucoup de remarques à faire sur cette méthode et sur les simplifications dont elle est souvent susceptible. Nous nous bornerons à observer que ÎT (4) ne doit pas dépendre des valeurs qu’il nous plaira de donner à a et b; en se rappelant cela, on pourra quelquefois trouver plus rapidement la valeur de IT {w), et, dans bien des cas, on verra de suite que la fonction cherchée n'existe pas.

Pour obtenir la valeur de [IT (4) à essayer, on aurait pu aussi se servir de

l'équation Ÿ'{a) SF[IT(u), Fa) | dIT{u) = [ f{u, a) du + constante,

et mème on aurait évité de cette manière un cas particulier que nous devons à

présent discuter. En effet la méthode qui consiste à tirer IT (4) de l'équation

serait en défaut si [I (w) disparaissait du premier membre quelles que fussent les valeurs de a et de b. Maïs ce cas particulier est facile à traiter directement. D'abord l’équation n’est possible alors que si w disparaît aussi du second membre, et pour que cela arrive il faut que le numérateur f{u, a) soit égal au produit du dénominateur f{u, b) par un facteur indépendant de u. Comme a est quelconque, il faudra donc que f{u, v) soit aussi le produit de f(u, b) par un facteur indépendant de u. En d’autres termes, f{u, v) ou À doit être le produit d’une fonction de w par une fonction de v. On verra de même que F[I{u), Ÿ (v) ] doit être le produit de F[TT (), #(b)]

par un facteur indépendant de u. $i donc on met u’ et #’ au lieu de Il (u)

et Ÿ (v), la quantité F (w’, s’) ou ' se trouvera être le produit d’une fonction de uw’ par une fonction de #.

Cela étant, je dis que nos deux surfaces À , A’ sont développables ou applicables sur un plan, et, par conséquent, l’une sur l’autre. Considérons, pour fixer les idées, la surface À, et posons, d’après ce qui

précède 3

On se rappelle que

u— a+ fB Y—:1, po ZE Ê V—1.

En changeant le signe de Ÿ—1, et désignant par des lettres majuscules ce que deviennent, par ce changement, les fonctions © et 4, il viendra donc 1=P{(v)O (u).

De là

À — Vo(u) O(u).V9(v) P(v):

en sorte que À est le produit de deux facteurs imaginaires conjugués. Cela revient à dire que l’on peut, dans l’équation

regarder 9 (u) et 0(v) comme exprimant deux imaginaires conjuguées, ce qui

permet de poser pla EBV—i)d(a+BV—i) = d(X+YV—, (ar BV—1)d(e EBV—r) = diX —Y V5).

Or en différentiant, puis multipliant membre à membre ces deux équations,

p(u) 8(v) (da? + df?) = dX? + dY?.

on en conclut

Donc ds? — À (da? + df?) = dX? + dY?.

Mais ZX? + ZY° exprime en coordonnées rectangles le carré de l’élément linéaire d’un plan. La surface A est donc développable ou applicable sur un plan, ce qu’il fallait démontrer.

Tel est, en peu de mots, le moyen nouveau, et indépendant de toute considération sur les rayons de courbure, que l’on peut employer pour reconnaitre si l'équation ds — ds! est possible, c’est-à-dire si les deux surfaces A, A sont applicables l’une sur l’autre. Entre cette méthode et celle de la Note IV,

et d'autres que je pourrais encore ajouter, le choïx devra dépendre des circonstances.

4. On pourrait demander de rendre le module du tracé géographique des deux surfaces À et A’ l’une sur l’autre égal, non plus à l’unité, mais à une fonction donnée de &, 6 ou u, v. En désignant le carré de cette fonction par

l'(u, v), on aurait alors à traiter l'équation RARES AU MR CAR AMAR ES à CA M Lee

et le procédé que je viens d'exposer ferait encore reconnaitre s'il existe ou non des fonctions conjuguées IT {(u), Ÿ (v) qui la vérifient.

9. Nous sortirions du cadre imposé à ces Notes, si nous ajoutions ici des exemples de tracés géographiques pour des surfaces particulières. Les jeunes élèves pourront s'exercer à appliquer les formules générales au cas du tracé d’un plan sur un plan, d’une sphère sur un plan, d’un ellipsoïde sur un plan, sur une sphère ou sur un autre ellipsoïde. M. Jacobi est le premier qui ait indiqué le choix des variables au moyen desquelles on résout cette dernière question dans toute sa généralité. Elle n’offrira aucune difliculté à nos lecteurs. Le point essentiel est, comme on l’a vu, de ramener l'expression des carrés des éléments des lignes tracées sur les surfaces dont on s'occupe à la

forme

ds — À(da? + d£*), et l’on a pu voir dans la Note III qu'une telle formule est aisée à trouver pour un ellipsoïde quelconque.

Le problème du tracé géographique de deux surfaces l'une sur lautre revient, comme on l’a démontré plus haut, à celui-ci : Trouver pour 2’ et £' des expressions en &, G telles que l’on ait

da? + d£"? = l(da LE d£?), l étant une fonction de +, f5. Il y à pour le cas des trois dimensions un problème analogue qui mène à l'équation da? + dB" + dy® = 1(da + dé? + dy), et dont j a1 obtenu, en profitant d’une sorte de hasard, la solution complète.

Cetie solution fait l'objet de la Note suivante.

“m2 ç<6C ne