J dz dz d’où il suit que a dx

et 4 + az ne peuventètre que des fonctions de y + ax Et comme on obtient aussi

re dz mn

: dz on voit semblablement que — — «

ax) = d(u — az),

dz ne

etu — az sont des fonctions de y — ax On a donc à la fois

u—+az=9(y+ax),

u— az —=4#(y—ax); donc 2 az —=®{(y +ax)—1 (» — ax), c'est-à-dire | z=Ÿ(y+ax) + Ÿ(y—ax) comme ci-dessus.

D'Alembert, comme on voit, s appuie sur la condition d’intégrabilité d’une diflérentielle à deux variables

M dx + N dy. |

Il profite, pour intégrer l'équation (A), de ce que cette équation peut s’écrire

sous la forme

. M __ AN Apt à “dx

na

Une considération du mème genre, employée toutefois d’une manière diftérente, m'a conduit à démontrer quelques théorèmes concernant certaines équations très-générales qui peuvent aussi se mettre sous la forme

dM 4N dy 7 dx

Ces théorèmes, qu'on pourrait aisément généraliser encore, feront l'objet de la présente Note. Ils ont pour résultat d'établir entre deux équations ou deux groupes d'équations aux différences partielles une correspondance telle, que si l'intégration est effectuée d’un côté, on pourra l’eflectuer immédiatement de

l’autre côté.

k&. Dans tout ce qui va suivre, x et y représenteront les variables indépendantes dont les autres quantités seront des fonctions.

Considérons d’abord l'équation

dz D (1 } dy — PET 2

cet k désignant des fonctions données quelconques de x, y, et z la fonction qui doit vérifier l’équation.

L'équation (1) indique que dz czdxr + k— dy (EE

est une diflérentielle exacte. Soit donc

dz cz dx + k e He di

Il en résultera

du dz du rer Mr d'où 1 du dz 1 du

cdx dx À dy et, par conséquent, 1 du | 1 du \c dx

(x bis) : = ——

Les équations (r) et (1 bis) sont donc tellement liées entre elles, que si l'inté-

grale de l’une est donnée, l'intégrale de l’autre s'en déduira immédiatement.

Connaissant z, on aura w par la formule

dz ) == (cz dre kr dy) :

Et eue /

et connaissant 4, on prendra

Elle aura ainsi la forme de l'équation du mouvement de la chaleur dans une barre hétérogène dont le rayonnement extérieur est nul, c exprimant la capacité

pour la chaleur, et À la conductibilité. L'équation conjuguée

1 du L'OE) af =)

k dy FA dx a d'elle-même une forme semblable: mais la capacité spécifique y est exprimée

I Ar ï 7 : .

ar —, et la conductibilité par —: Voilà donc deux barres de nature diverse qui 195 LNs Par Î

ont entre elles une liaison remarquable, et qui sont telles, que les lois du mou-

vement de la chaleur ne peuvent être connues pour l’une sans être à l'instant

connues pour l’autre.