En second lieu, soit dz d.k— (2) dc2. dy F'TOr
€ et À continuant à être des fonctions données de x et y. On apprend, par cette équation, que dz cz dx + k— dy ay
est une différentielle exacte. Posons, en conséquence ,
dz czdx +k HAE, CHE
Il en résultera
du dz du dx AVDOECT d’où F é 1 du dz 1 du
c dx’ dy kdy
et, par conséquent 2
| 1 du Fa T du . ‘ce dx 2 DIS Re ( ne pe
Les équations (2) et (2 bis) s'intègrent donc ensemble. Connaissant z, on en
& déduit = [oz dr + RE dy):
U— CALE d ;
et connaissant &w, on prend
1 du PT 6. L'équation FR ET ei 3 dx dy (3) dy onde
nous fournira un troisième exemple. On sera conduit alors à poser
ce dr+k . dy = du, d’où dz du dz du ne k cr = d puis
dz 1 du dz 1 du
el, par conséquent,
1 du 1 du
— Le
3 e 6 dx k dy (3 bis) de ec ET
Les équations (3) et (3 bis) sont de mème forme; pour passer de l’une à l’autre,
À 1 TA J il suflit de remplacer les fonctions c et k par Rue Connaissant z, on a
"de dz ne F(eSE de +kT dy):
La
et, réciproquement, si l'on connaît u, on doit prendre
1 du 1 du = fasse) (: dx FRE k dy dy 7. Soit encore l'équation 1z 1z Fe Le Peut (4) AIS es dx dy dr en vertu de laquelle dz dz , x sh € dx + k 7
est une différentielle exacte du. I nous viendra, dans ce cas,
dz du L dz du dy dr dr
d'où dz 1 du dz 1 du
dy cd dx & dy”
et, par conséquent.
1 du 1 du FE dy ce dx b ï UE 0 dy dx
Les équations (4) et (4 bis) sont de même forme; seulement, en passant de
Fee I AAA l’une à l’autre, on change c en 7 k en —-: Quant aux intégrales, elles se ê C
déduisent l’une de l’autre, puisque lon a
dz dz ù — (ed + h : dy | et af 2 7 , Sp 4 dy c d.
S. Lorsqu'on y fait c — — k, les équations (4) et (4 bis) deviennent respecuvement l dz ART K (B) —— 4 —- ay 10 dx pe QU et 1 du 1 du C) Nr fre ( Un jo Le
Cette forme est celle de l'équation d'équilibre de la chaleur dans un corps hétérogéne, en se bornant au cas de deux dimensions, c'est-à-dire en supposant la température indépendante de la troisième coordonnée. J'ai indiqué ailleurs un cas assez étendu dans lequel l'équation (B) s'intègre; cest celui où l’on a dE dt. VA Gi
de 7 Y
En développant, en eflei, les diflérentiations indiquées dans léquation (B), puis divisant le résultat par VÆ, et y ajoutant la quantité nulle CA
d?,.VA lVA z ( V ss \ }:
dx? dy?
on trouve aisément d’où Dans la même hypothèse de
de, VA Le VA
dx? dy:
l'intégration (C) s’intégrera donc aussi. En d’autres termes, l'équation
lz 3 PRE (B dx dy F- (5) dr Fe dy L
s'intègre encore si, au lieu d’avoir
on à
na dx? dy?
En eflet, dans cette dernière hypothèse, l'équation (C) s'intègre d'abord et donne, d'après ce qui précède,
Ve = PE NE 7 V5);
on a ensuite
Fu 1 du e 1 du y) — Fay kax 7)’
en vertu de la formule qui termine le n° 7, formule où j'ai eu soin de faire
9, Je vais considérer maintenant une équation dont l’ordre sera supérieur au second, celle-ci par exemple,
D'après cette équation, je puis poser
c = A À Se CDN de là résulte eZ du Aie du dx de dy" — dy d'ou drz 1 du d"z 1 du
et, par conséquent,
(5 bis) ne
Les équations (5) et (5 bë%) s’intègrent ensemble. Connaissant z, on a de
suite
‘connaissant au contraire uw, on a d’abord
d"z 1 du az 1 du
dx" c dx dy k dy’
. ce qui fait connaitre les deux dérivées partielles du n°"" ordre, | | dn2 ds
der ? dy ñ :
24020 «= A 22 £ < d'z3 NE - En intégrant » fois par rapport à x la valeur de =, on aura z: mais l’in- Fe) dx ?
tégration par rapport à x introduira des constantes ou plutôt des fonctions arbitraires de y, qu’on déterminera ou qu'on réduira à leurs vraies valeurs en
différentiant » fois par rapport à y l'intégrale z, et comparant le résultat de la
A te : : Pt az différentiation à l’expression déjà connue dés. dy" 10: L’équation d'z drz d.c d.k a apr dEr (6) D RE ed / dy dx nous fournirait semblablement d'z d'z C dx + k dy = du.
dy" dx" 4] ?
d’où 4 dr 1 du d'z du
dy" PRE RES dy
et, par conséquent,
1 du 1 du
EE ee
PRES k dy c dx (6 bis dy" dx"
résultat qui fait dépendre l'intégrale de léquation (6) de celle de l'équa-
tion (6 bis). et réciproquement.
; proq
11. Mais j'arrive à des exemples où deux groupes d'équations seront conjugués comme l'ont été, dans ce qui précède, des équations prises deux à deux. Soient c, k, c', k' des fonctions données quelconques de x, y, et z, 1 des
fonctions de ces mêmes variables vérifiant les deux équations
dt d.Cz A dk ) dy dx d , dz d,ct d.k dx dy? dx
Ces équations nous apprennent que les deux formules
dt cz AL LE —= dy ATE
et
dz CtAr Er ur = sont des diflérentielles exactes. Nous pouvons donc poser
dt
czdx +k an cu et n , dz c'tdx + k'-— dy = dv; dx de 1à résultera du at du CL Fa k Je = 7 : de 1 z dv CM et k FA —= FRQ el, par conséquent, : 1 du dz 1 de 0 an pra 1 dv dt 1 du ET NET ET d’où 1 du 1 de de dx . k' dy Lee (7 bis) 1 dv 1 du "c' dx ka Cid À
Les deux groupes d'équations aux diflérences partielles (7) et (7 bis) sont liés entre eux de telle manière, que si l’on est parvenu à intégrer l’un, on saura
par cela même intégrer l’autre. Connaïssant, en eflet, z et {, on aura
EN
dt s. (ed +R dr):
NS
dz == fl (c'edr + k/ dy) 3
et connaissant u et #, on prendra
1 du 1 de Z—=— —3 —
c dx c' dx
12. Notre méthode s'applique, avec une égale facilité, au groupe suivant :
dt d.cz dy FFE 7 (8) dy da
En vertu des deux équations que nous venons d'écrire. on peut poser | ) P P
dt cz dx —- k DS du,
d c'tdx+k = dy = à, ; d’où 1 du dz 1 dv .
c dx? dy © #! dy’
1 dv dt aa du dx dy kdy
