PER APT

sans laquelle Mdx + Ndy ne peut être une différenuelle exacte.

17. La méthode par laquelle nous lions ou conjuguons deux équations ou deux systèmes d'équations, mène parfois à un résultat que l’on serait tenté de croire insignifiant au premier abord , et qui, mieux étudié, devient utile. Si,

par exemple, nous prenons comme point de départ l'équation

d?z d?z — — —= O0 dx dy? Q

nous verrons. en l’écrivant ainsi

qu on peut poser

dz dz d dx — . dy = du,

26 ONE mais les formules dz du dz du = os | Er WdE dx dy

qui résulteront de là, ne nous ramèéneront qu à une équation

dx? dy” er de mème forme que l'équation primitive.

Dans ce cas même pourtant, il y a encore un parti avantageux à tirer de tous les calculs que lon vient de faire. Ces calculs, en effet, établissent une liaison entre deux intégrales z et 4 d’une même équation aux différences partielles

dx° cLyE

d°o dep

Or, en prenant z et u comme deux variables nouvelles à substituer à x, y, de maniere à rendre © fonction de z et u, tandis que © était d'abord fonction de r, y. on obtient aisément

d'y ne + du: de

n sorle que 9 s exprime sous la mème forme en # et z qu'en x et y. Ce résultat n'a aucune valeur sans doute tant qu'il ne s'agit que d'obtenir en général, et sans avoir à l'appliquer à aucun problème défini, l'intégrale complèt: dont o dépend ; mais, dans les problèmes particuliers, on doit rechercher, parmi toutes les formes dont une intégrale est susceptible, la forme propre au cas dont on s'occupe. On voit, par là, que l’intégrale o, exprimée en w et z, peut souvent ètre préférable à celle exprimée en x et y; la théorie de la chaleur en offre la

preuv €.