ES A
fr dy — ar
c et k étant encore des fonctions données de x, y. I s’ensuivra que l'on peut
poser
dz-\$ HIS ET cz dx + k (à) dj du,
d'ou i du L dz | 5 du CZ = —» 1 — nt * dx dx dy : et, par conséquent , 1 du\3 F ASE ’ c dx du (12 bis) RAA —— | = — dx dy
Les équations (12) et (12 bis) sont donc conjuguées. Quand l'intégrale de
la première est connue, on a celle de la seconde en posant
Ur fe dx — k (£) ; dy |
et réciproquement si la seconde est intégrée, on a l'intégrale de la première par P 5 5 F (
la formule
nt. du à CAR Soit encore 1z dz \?
le Rte (13) Len (TR dE dx
On fera
dz de c— dx +k (&) dy = du,
dz ei: du dz et 1 du dx (cdr! dy Où k& dy
et l'on en conclura sans difficulté
d'où
< 13 bis) a — NT. =: °
Les équations (13) et (13 bis) nous offrent donc un nouvel exemple d'équations conjuguées pour l'intégration.
En général, si l’on a l’équation
dM 4N
dre
pr, ui
ES
mr
‘ :* PEN M et N étant des fonctions de x, y et de deux dérivées de z telles que
dmtn a dPr+3 Z rs es re or En EP AE
on fera
M dx + N dy = du,
puis des deux équations résultantes
du du
dx dy on tirera les valeurs des deux dérivées de z qui y sont contenues. Eliminant ensuite z, ce qui est facile, on en conclura une équation (14 bis) qui sera conjuguée à l'équation (14). Et il est clair qu'un même artifice s'étend aussi à
des groupes d'équations.
16. Tous ces exemples montrent assez combien l'idée de d’Alembert, pour l'intégration de l'équation des cordes vibrantes, a de portée et d'utilité dans la théorie tout entière des équations aux différences partielles. En principe,
on part de la condition d'intégrabilité
dM __dN dy : dx
de la formule différentielle à deux variables Mdx + N dy.
Mais l’application du principe est opérée de facon diverse, et dans la question traitée par d’Alembert, et dans celles que nous venons de traiter nous-mème, et dans d’autres encore où ce principe si simple et si fécond joue un rôle. Car c'est à ce même principe qu'il faut rappeler la méthode par laquelle on ramène à l'intégration d’une équation linéaire et du premier ordre l'intégration des équations du premier ordre, mais de forme quelconque, comprises dans le
type général
, dz dz f(x Nr 2 Hi =
En effet, on pose alors
re
puis tirant de l'équation
la valeur de 4, savoir
on exprime que
pdx + F(x, y, z,p)d
est une diflérentielle exacte, et l’on est ainsi conduit à une équation linéaire qui donnera p en fonction de x, y, z. Ici le nombre des variables indépendantes est augmenté, et cela établit une très-grande différence entre la manière dont on traite l'équation
4, dz dz\ ff (a. NÉS 7e ) = ,9
et celle que nous avons employée nous-même dans cette Note pour d’autres équations. Il était bon pourtant de faire ressortir l'identité du principe fondé
sur la condition dM __aN
