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DES SURFACES QUI ENVELOPPENT UN NOMBRE INFINI D’AUTRES SURFACES ; DES CARACTÉRISTIQUES ET ARÈTES DE REBROUSSEMENT.

Supposons que l’on considère une surface courbe entièrement connue, et dans la génération de laquelle entre un certain paramètre que nous représenterons par +, en sorte que l'équation finie de

cette surface soit composée de æ, y, z, &, et de tant d’autres constantes que l’on voudra, indépendantes de &. l'équation connue de cette surface pourra être représentée par F[x, 7, z, 4] — 0, ou, pour abréger, par F — o.

Si l’on donne au paramètre 4 une valeur déterminée, l'équation F — o sera celle d'une surface individuelle unique, dont la forme et la position dans l’espace dépendront de la valeur particulière donnée à «. Si donc on suppose que le paramètre x ait successivement toutes les valeurs possibles depuis 4 — — « jusqu'à x —<, toutes les équations, telles que F— 0, que l’on obtiendra de cette manière, seront chacune en particulier celle d’une surface courbe mdividuelle ; et la suite infinie de toutes ces surfaces courbes sera enveloppée par une autre surface courbe unique, qui est de la nature de celles que nous nous proposons de considérer, et auxquelles nous donnerons le nom générique d’enveloppes.

Si, de plus, l'équation générale Fo des surfaces enveloppées contient un second paramètre 8, mais qui dépende du premier suivant une loi connue ; si, par exemple, ces deux paramètres sont les coordonnées d’une courbe plane donnée, dont l'équation connue en +, y soit représentée par y — ®x, on aura BG — @a; et, d’après la forme de la fonction , l'enveloppe aura une forme particulière et une position déterminée dans l’espace. Si donc on suppose que la fonction @ prenne successivement toutes les formes possibles, pour chacune de ces formes particulières, on aura une enveloppe individuelle différente; et pour toutes les formes en général, on aura une suite d’enveloppes. Toutes ces enveloppes auront un caractère général, une propriété commune, une même génération, indépenilante de la nature de la courbe dont l'équation est y = gx. Ce caractère , cette propriété, cette génération, peuvent être exprimés ou par une équation aux différences partielles, ou par une équation intégrale, dans laquelle entrera la fonction &, qui alors sera

arbitraire ; et ce sont ces deux espèces d'équations que nous nous proposons de trouver. Nous allons éclaircir ce qui précède, en raisonnant sur un exemple simple.

Fout étant rapporté à trois plans rectangulaires, dont celui qui contient les x et y soit horizontal, concevons que sur ce dernier plan on ait tracé une courbe quelconque dont l'équation soit y — gx, et que sur cette courbe on prenne un point correspondant Mi 4 et pour lequel on aura par conséquent y — a; cela posé, si ce point est le centre d’une sphère dont le rayon soit — à, l'équation de la surface de la sphère sera

(T— a) + (y — Ga) 2 A.

Cette équation est, dans ce cas, celle que nous représentons par F — 0. Actuellement, si, la forme de la fonction @ restant la même, c’est-à-dire si, la courbe horizontale restant fixe, l’on donne successivement à 4 toutes les valeurs possibles, on aura une suite de sphères de même rayon, et dont les centres seront distribués sur tous les points de la courbe horizontale. ‘Toutes ces sphères seront enveloppées par une surface unique, qui sera celle d’un canal eirculaire, curviligne, et dont l’axe sera la courbe horizontale : c’est cette surface à laquelle nous donnons le nom d’eveloppe. Enfin, si l’on donne successivement à la fonction 9 toutes les formes possibles, c’est-à-dire si l’on fait successivement la même opération pour toutes les courbes que lon peut tracer sur le plan horizontal, à chacune de ces courbes correspondra une enveloppe particulière. Toutes ces enveloppes auront la même génération et une propriété commune indépendante de la courbe qui sert d’axe à chacune d'elles en particulier. Cette propriété est que, si on les coupe par un plan quelconque normal à la courbe horizontale qui sert d’axe, on a pour section la circonférence d’un cercle dont le rayon est — &, et dont le centre est dans la courbe. L'expression analytique de cette pro-

Lo tE—

priété qui appartient à toutes ces enveloppes, et qui n'appartient qu'à elles, est l'équation générale des surfaces soumises à cette sénération. Rentrons actuellement dans le cas général. |

Si dans l'équation générale des surfaces enveloppées F— 0, après avoir donné à « une certaine valeur, on lui donne une nouvelle valeur infiniment peu différente de la première, on aura l'équation d'une nouvelle enveloppée, qui, par sa forme et sa position, différera infiniment peu de la première, et qui la coupera dans une certaine courbe. Cette courbe sera la ligne de contact commune des deux enveloppées consécutives avec leur enveloppe, et ses points seront ceux de la première enveloppée pour lesquels les coordonnées x, y, z ne changent pas, quand + varie et devient & + da. Si donc on différentie l'équation F — o, en regardant + comme seule variable, l'équation qu'on obtiendra appartiendra à la courbe de contact ; et parce que cette courbe se trouve aussi sur la première

enveloppée, il s'ensuit que ces deux équations seront

(A) Fe:

LI ANNEES (B Es — O,.

dans lesquelles la quantité & détermine la position de la courbe de contact dans l’espace. Ainsi, suivant que dans les deux équations (A) et (B) on donnera successivement à & différentes valeurs, on aura les équations de courbes de contact différentes qui se trouveront toutes sur l'enveloppe, et dont l'enveloppe elle-même sera, pour ainsi dire, composée. Si donc entre les deux équations (A) et (B) on élimine +, on aura en +, y, : une équation que nous représenterons par f(x, 7,7) — 0, ou, pour abréger, par / — 0, et qui sera celle de l'enveloppe elle-même.

La ligne de contact, dont les équations sont (A) et (B), a aussi

une propriété indépendante de la courbe qui particularise l'enveloppe, et dont on peut avoir l'expression analytique ; en vertu de cette propriété, elle imprime un caractère général à toutes les enveloppes soumises à la même génération; sa considération est trèsimportante dans l’intégration des équations aux différences partielles, et nous la nommerons la caractéristique de l'enveloppe. Nous verrons par la suite qu’une même enveloppe peut avoir plusieurs caractéristiques différentes. Dans le cas particulier sur lequel nous avons déjà raisonné, la ligne de contact est toujours la circonférence d’un cercle dont le rayon est constant, et dont le plan ‘est toujours vertical et normal à la courbe horizontale, quelle que soit d’ailleurs cette courbe ; et il est évident que c’est cette propriété qui imprime à toutes les enveloppes de ce genre leur caractère commun et distinctif. Poursuivons ces considérations.

Si dans les deux équations (A) et (B), après avoir donné au paramètre « une première valeur, ce qui détermine la position de la caractéristique dans l’espace, on conçoit que ce paramètre soit augmenté d’une quantité infiniment petite dx, les deux nouvelles équations seront celles d’une nouvelle caractéristique qui, par sa forme et sa position, différera infiniment peu de la précédente, et qui, en général, la coupera quelque part, puisque ces deux caractéristiques consécutives sont sur la même enveloppe. Les points en nombre fini, dans lesquels les deux caractéristiques consécutives se coupent, sont ceux de la première pour lesquels les coordonnées x, y, z ne changent pas, lorsque, dans les équations (A) et (B), z varie et devient & + da. Done, si l’on différentie ces deux équations, en regardant 4 comme seule variable, les deux nouvelles équations qu’on obtiendra appartiendront aux points d’intersection des deux caractéristiques; et parce que ces points se trouvent aussi sur la première caractéristique, que d’ailleurs en différentiant (A) on reproduit (B), il s'ensuit que pour chacun de ces pointsd’intersection on a les trois

équations | r (A) F =, :

dF (B) (=, ddF C) (Er %

dans lesquelles la quantité & détermine celle de toutes les caractéristiques sur laquelle on considère le point où elle est sono par celle qui la suit immédiatement.

Ainsi, suivant que dans les trois équations (A), (B), (C), on donnera au paramètre & différentes valeurs, on aura en x, y, 3 trois équations, desquelles, par l'élimination, on tirera les valeurs des coordonnées +, y, z, du point dans lequel la caractéristique correspondante est rencontrée par la suivante. On aura donc sur l’enveloppe autant de points de cette espèce, que l’on pourra donner de valeurs différentes à #. La suite de ces points formera sur l’enveloppe une courbe très-remarquable, et dont on aura en x, y, z les deux équations, en éliminant z entre les trois équations (A), (B) et (C). Cette courbe est touchée par toutes les caractéristiques de la même manière que l’enveloppe est touchée par toutes les enveloppées, et elle ést pour l'enveloppe une véritable arête de rebroussement; car toutes les parties des caractéristiques qui sont d’un même côté par rapport à leurs points de contact avec la courbe que nous considérons, forment une première nappe de l'enveloppe, et toutes les parties de ces caractéristiques qui sont de l’autre côté des mêmes points de contact forment une seconde nappe. Ces deux nappes se touchent dans la courbe dont il s’agit, et qui est pour elles une limite commune; de manière que si un point se mouvait sur une de ces deux nappes suivant une certaine loi, il arriverait jusqu’à cette

limite, qu’il ne pourrait outre-passer, et, pour continuer son mou-

vement suivant la même loi, il serait obligé de se réfléchir et depasser sur l’autre nappe. Nous aurons occasion, par la suite, de nous familiariser avec cette espèce d’arète de rebroussement. Nous nous contenterons ici de faire observer que les surfaces coniques sont des enveloppes ; que, comme telles, elles ont leur arête de rebroussement ; que, pour elles, cette arête se réduit toujours à un point unique, et que ce point, qui est le sommet, est très-remarquable sur ces surfaces.

Toutes les arêtes de rebroussement des enveloppes soumises à la même génération ont aussi un caractère commun, une propriété générale, qui est indépendante de la courbe qui particularise l’enveloppe; et dont on peut avoir l'expression analytique. La considération de ces arêtes est d’une grande importance dans le calcul intégral des équations aux différences partielles, et, pour cette raison, nous ne manquerons pas de les étudier dans tous les cas particuliers que nous traiterons. ;

Enfin, chacun des points de l’arète de ‘rebroussement d’une enveloppe est l'intersection de deux caractéristiques consécutives ; mais si, sur cette arête, il se trouve un point dans lequel les trois caractéristiques consécutives se coupent, Où, ce qui revient au même, s’il existe une certaine valeur de «, pour laquelle les deux caractéristiques consécutives coïincident et ne forment qu’une même courbe, le point correspondant de l’arète, de rebroussement sera tel, que ses trois coordonnées x, y, z ne varieront pas lorsque x viendra encore à varier. Si donc on différentie les trois équations (A), (B), (C), en regardant « comme seule variable, les trois équations que l’on aura appartiendront au même point de rebroussement ; et parce que la différentiation de (A) produit (B), et que celle de (B) produit (C), il s'ensuit que si des quatre équations

Qt

(A) F6; (B) ()=0 (G) (Sr )=0; (D) (Fr) = 0,

on élimine les trois coordonnées #, y, 3, on aura une équation qui ne renfermera plus que &, et qui donnera la valeur de « pour qu'un point de l’arête de rebroussement soit commun à trois caractéristiques consécutives. Ce point est lui-même pour l’arète un point d’inflexion ou un point de rebroussement.

Passons actuellement à la recherche des équations de quelques enveloppes.

S VII

DES SURFACES DES CANAUX DONT L’AXE EST UNE COURBE QUELCONQUE PLANE ET HORIZONTALE, ET DONT LES SECTIONS PERPENDICULAIRES A CET AXE SONT DES CERCLES DE RAYON CONSTANT.

Une courbe quelconque étant tracée sur le plan horizontal, si l’on imagine qu’une sphère d’un rayon constant se meuve de manière que son centre suive la courbe, elle parcourra un espace qui sera enveloppé par une certaine surface courbe. Cela posé, trouver, 1° l’équation générale de toutes les surfaces courbes soumises à cette génération, quelle que soit d’ailleurs la courbe plane qui leur sert d’axe; 2° les équations de la caractéristique de ces surfaces; 3° celle de leur aréte de rebroussement.

Les, ES

PREMIÈRE MANIÈRE, D'APRÈS LA CONSIDÉRATION DU PLAN TANGENT

1°. La surface que nous considérons étant l'enveloppe d’une suite de sphères de même rayon, il est évident que son plan tangent coincide avec le plan tangent de la sphère enveloppée qui la touche au même point.

Quelle que soit la courbe qui sert d’axe, l’angle que le plan tansent de la surface fait avec le plan horizontal pour un point de contact pris à une certaine hauteur, doit donc être égal à celui que fait avec le même plan horizontal le plan tangent à une des sphères enveloppées, pour un point de contact pris à la même hauteur. Or, l'équation du plan tangent étant, comme on sait,

d lz' 3 — z' — IE — d:) ei en (y — Y') () le cosinus de l’angle que ce plan fait avec le plan horizontal est