SECOND EXEMPLE

Trouver l'équation de la surface supérieure de la courbe ram-

pante circulaire.

On sait que, dans ce cas, la courbe à double courbure qui dirige le mouvement de la génératrice est l’hélice d’une vis dont l’axe est la verticale qui passe par l’origine. La projection horizontale de cette hélice est la circonférence de cerele qui sert de base à la surface cylindrique sur laquelle elle se trouve. Soit x°+7°— a? l'équation de cette projection. Pour avoir l’autre équation de la même courbe, il faut remarquer que cette courbe produit une ligne droite sur le développement de la surface du cylindre : ainsi cette équation est

z — barcsnm(y) + c,

dans laquelle b et c sont deux constantes. On éliminera done +, y, = entre les quatre équations

T°? + y lie

— barecsm(y) + c,

Zz — Qu;

ce qui produira

ga — b arc sin —"—\ +0; Vaso?

et substituant pour + et 4 leurs valeurs, on aura pour l'équation

os 010 | ren

demandée

PE C7) À 210 AFCI …) + C.

Vx? + y*

Cette surface individuelle est une de celles dont l’aire est un minimum ; c’est-à-dire que si sur cette surface on renferme une aire par une courbe quelconque, soumise ou non à la loi de continuité, de toutes les surfaces courbes qui passent par cette courbe, c’est celle que nous considérons dont l'aire renfermée par la courbe est la plus petite.

S'il s'agissait de trouver la surface qui, d’après la même génération, serait circonscrite à une surface courbe donnée, on opérerait comme nous l'avons fait dans les trois générations précédentes.

La verticale par laquelle passe toujours la droite génératrice est une ligne remarquable sur les surfaces dont il s’agit ; elle est la ligne la plus courte par laquelle on puisse passer d’une position quelconque de la droite génératrice à une autre. Ces surfaces ne sont qu'un cas particulier de celles qui sont engendrées par le mouvement d’une ligne droite, et dont nous aurons dans la suite occasion de nous occuper.

Les générations des surfaces que nous avons considérées jusqu'ici sont exprimées par des équations aux différences partielles linéaires : nous allons parler de celles qui sont exprimées par des

équations élevées.