SONT
donc, égalant les valeurs de ces deux cosinus, et accentuant 3 dans la Seconde expression, puisque les points de contact sont pris à la même hauteur, on aura, pour équation générale des surfaces que nous considérons,
R a | NUS CLR TE CORRE (a) æ ne + dy = (Le
Autrement. Xl est évident que toutes les normales de enveloppe coupent la courbe qui lui sert d’axe, et que les parties de ces normales comprises entre la surface et lé plan horizontal sont égales entre elles et au rayon des sphères enveloppées. Or, en nommant x", y”, 3’ les coordonnées d’un point d’une surfice courbe, nous avons vu que les équations de la normale qui passe par ce point
sont
/ ! dz' Vue) + (2e) = 0:
De plus, la grandeur de la partie de cette normale comprise entre le point de la surface et un autre point dont les coordonnées sont 05H06 N'O8L
VC AAC Substituant donc pour x — x’ et y — y” les valeurs que fournissent les deux équations précédentes, on aura.pour expression de cette
srandeur
NSP ARE dz!\?
/ / Z Sr ae QU Eee Mic MT er V1 (S) #07) Si donc on veut avoir la grandeur de la partie de la normale comprise entre la surface et le plan horizontal, il faudra faire 2—0 dans
cette expression, qui deviendra |
F dde dz° on UT Lars dx! ce dy’ y
done, en égalant cette expression au rayon «a des sphères enve- ; 9 1%
loppées, et élevant au carré, on trouvera, comme ci-dessus, pour équation générale
ns dz'\? dz'\? :
.(a) ee] Di Le A RE AE re fr b+ Ge) +) ]
2°. La caractéristique de la surface, c’est-à-dire la courbe de contact de cette surface ‘avec chacune des enveloppées, est évidemment, dans ce cas, la ligne de plus grande pente de la surface, ou, ce qui revient au même, elle est, de toutes les courbes qui sont sur la surface et qui passent par un même point, celle dont la tangente en ce point fait le plus grand angle avec le plan horizontal. La tangente de cette courbe est’ donc perpendiculaire à l'horizontale menée dans le plan tangent, et enfin la projection horizontale de cette tangente est perpendiculaire à la trace horizontale du plan tangent: Or, x”, y”, z’ étant les coordonnées du point de la caractéristique, qui est aussi le point de contact du plan tangent, l’équation de la projection horizontale de la tangente est
el r—y'= (rx)
-.*celle de la trace horizontale du plan tangent se trouve en faisant z — © dans l’équation de ce plan, et est
/ ! dz° / dz' ne = (a—x)(%) HAVE) (a).
De plus, ces deux droites seront rectangulaires si, en ajoutant les produits des coefficients de x à celui des coefficients de y, la somme
TN he est égale à zéro ; donc l'équation de la projection horizontale de la
ligne de plus grande pente est
dz' f dz' CR (e) rec
Donc enfin les deux équations de la caractéristique de la surface
sont
| Re 7.
(&) Z | DRE FR NN pra | — €”, ; dz' / dz' TM
En général, l'équation (b) peut.toujours être déduite immédiatement de l’équation (a). Pour ne pas trop charger cet exemple, nous le ferons voir dans l’exemple suivant.
3°. L’arète de rebroussement de la surface touche en chacun de ses points une de ses caractéristiques; ces deux courbes ont donc en ce point une tangente commune : donc la tangente de l’arête de rebroussement pour un point de contact pris à une certaine hauteur, fait avec le plan horizontal le même angle que la tangente de la caractéristique pour un point de contact pris à la même hauteur. Or, x’, y’, x" étant les coordonnées du point de contact pris.sur l’arète de rebroussement, la tangente de l’arête fait, avec le plan horizontal, un angle dont le cosinus est évidemment
COS = — "| Vdx'"® + dy? + dz'°
De plus, dans un cercle vertical et dont le rayon est a, pour un point de contact pris à la même hauteur z’, la tangente fait avec le plan horizontal un angle dont le cosinus est
la
